Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn Toán - Trường Thcs Cao Viên

TRƯỜNG THCS CAO VIÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm có: 01 trang

Bài 1: (6 điểm)

a) Cho        1 1 1 1

x y xy P

x y y x y x x y         

1. Tìm điều kiện của x,y để biểu thức P xác định và rút gọn P 2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = 2 b) Chứng minh rằng: Với mọi n N thì n + n +1 không chia hết cho 9 2 Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình :  

2 2 17 3 x x   

b) Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a + b = a + b = a + b 100 100 101 101 102 . 102 Tính giá trị biểu thức: P = a + b 2015 2015 Bài 3: (3 điểm)

a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 3 4 19 x y x   

b/ Cho a,b,c > 0. Chứng minh :  

3

2 2 2 28 a b c ab bc ca a b c abc         Bài 4: (6 điểm)

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1 điểm)

Tìm nghiệm nguyên ,dương của phương trình: xy+yz+zx=xyz+2

- Hết -

ThuVienDeThi.com

TRƯỜNG THCS CAO VIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: Toán

Bài Nội dung Điểm

a) 1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, y 0 ,y ≠ 1, x+y≠0

        

1 1

1 1

x x y y xy x y P

x y y x

     

  

=        1 1

x y x y x xy y xy

x y y x

     

  

=…= x xy y   2. P=2  =2  x xy y      1 1 1 x y y    

   1 1 1 y x   

Ta có  1  1  .Kết hợp với điều   1 y    1 x  2 4 x x   

kiện x ≥ 0. Vậy 0x4  x  {0,1,2,3,4}. Thay vào phương trình P=2 ta có: (x,y) {(4,0); (2,2)}

0,5đ.

0,5đ.

1,0đ.

0,5đ.

0,5đ. 0,5đ 0,5đ

Bài 1 (6 đ )

b) giả sử tồn tại số tự nhiên n để 9 2 1 n n   §Æt . V× (1) 1 2    n n A 9 4 9   A A  Ta cã: 3 )1 2 ( )1 ( 4 4 2 2       n n n A V× 9 )1 2 ( 3 1 2 3 )1 2 ( 3 4 9 2 2             n n n A A

không chia hết cho 9 không chia hết cho 9 (2) 3 )1 2 ( 4 2    n A A 4  Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai. Vậy với thì không chia hết cho 9. N n   1 2  n n

1,0đ.

0,5đ.

0,5đ. Bài 2

(4đ)

1.(2đ) Tìm đúng điều kiện 0 x 17 - Đặt    2 4 ( 0) 3 3 3 t x t t u x x x u x t         



-Giải ra được đến {

ut = 2 ut = 16)

* Với ut=2 t=1 hoặc t=2 - Với t=1  x=1 -Với t=2  x=4 * Với ut=6  Pt vô nghiệm -Kết luận nghiệm 2. (2đ)

0,25đ

0,5đ

0,5đ.

0,5đ 0,25đ

0,5đ.

0,5đ.

ThuVienDeThi.com

Ta có :

           

102 102 101 101 100 100

102 102 102 102

1

, 1;1

a b a b a b ab a b

a b a b a b ab

a b ab

a b

     

     

   

 Tính ra P=2

0,5đ

0,5đ.

Bài 3

(3đ)

1. Viết được

         

2 2

2 2

2

2 2 1 3 7

2 1 3 7

3 7 2

x x y

x y

y

    

   

  

 y là số nguyên lẻ Mà  0  0 =1  

2 2 1 x    2 7 y  2y

Thay =1 vào tìm được x=2, x=-4 2y Thử lại :… và trả lời .Có các nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(-4,1) ;(-4,-1) 2. Với x, y, z > 0 . Ta có:

+) (1). 2 x y y x  

+) (2) 1 1 1 9 x y z x y z     

+) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx (3)  

2 2 2

1 x y z xy yz zx      Xảy ra đẳng thức ở (1), (2), (3) x = y = z.Ta có: 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) .

( ) ( 2 2 2 ).

ab bc ca a b c P a b c abc a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca abc a b c

                       Áp dụng các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

9 ( ). 2.9

8. 18

2 8 18 28

ab bc ca P a b c ab bc ca a b c

ab bc ca a b c a b c ab bc ca ab bc ca a b c

  …