Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Lục yên năm học 2007 2008 môn thi Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học 2007 – 2008

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1 (1,5 điểm) Cho biÓu thøc a 1 1 2 K : a 1 a 1 a a a 1

                

a)Rút gọn K. b) Tính giá trị của K khi a 3 2 2   c) Tìm các giá trị của a sao cho K< 0. Bài 2 (1,5 điểm)

Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy

Bài 3 (3 điểm)

Giải phương trình:

a) 2 x 4x 5 2 2x 3    

b) 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x        

Bài 4 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M.

Bài 5 (2 điểm)

Cho ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích DME đạt giá trị nhỏ nhất.

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN

Năm học 2007 – 2008

Môn: Toán

ThuVienDeThi.com

Sơ lược lời giải và thang điểm

Bài 1 (1,5 điểm)

Tính giá trị của biểu thức:

4 4 4 4

4 4 4 4

1 1 1 1 2 4 6 ...... 100 4 4 4 4 S 1 1 1 1 1 3 5 ...... 99 4 4 4 4

                      

                      Giải:  n  N, ta có:

(1)

2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n 4 4 2 2 2                             (0,5 điểm)

Mặt khác: (2) 2 2 2 1 1 1 n n (n 2n 1) (n 1) (n 1) (n 1) 2 2 2             

(0,5 điểm) Áp dụng (1) và (2) để tính S, ta được:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 ... 100 100 100 100 2 2 2 2 2 2 S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 ... 99 99 99 99 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 S

                                    

                                           

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

1 1 1 1 4 4 3 3 ... 100 100 99 99 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 2 2 ... 99 99 98 98 2 2 2 2 2 2 1 100 100 1 2 S 2. 100 100 20201 1 2 2

                                                             

            

(0,5 điểm)

Bài 2 (1,5 điểm)

Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy Giải: Ta có: (a – b)2 ≥ 0  (a + b)2 ≥ 4ab  –4ab ≥ –(a + b)2. (0,5 điểm) Áp dụng vào biểu thức A, ta có:

A = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy = 8 – 6xy + 2xy = 8 – 4xy ≥ 8 – (x + y)2 = 8 – 4 = 4 (0,5 điểm) Dấu “=” xảy ra  x = y mà x + y = 2 (gt)  x = y = 1 Vậy: min A = 4  x = y = 1 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm)

Giải phương trình:

ThuVienDeThi.com

a) (1) 2 x 4x 5 2 2x 3    

b) 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x         Giải:

a) (1,5 điểm). Điều kiện: (0,5 điểm) 3 x 2 

Ta có: (1)  (0,5 điểm) 2 (x 2x 1) (2x 3 2 2x 3 1) 0        

 (thỏa mãn) 2 2 x 1 0 (x 1) ( 2x 3 1) 0 x 1 2x 3 1 0

              Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 (0,5 điểm)

b) (1,5 điểm).

Ta có: 3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4 5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + 9 ≥ 9

Do đó: 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 9 2 3 5           Dấu “=” xảy ra  x = –1 (1) (0,5 điểm) Mặt khác: 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2. Dấu “=” xảy ra  x = –1 (2) (0,5 điểm)

Từ (1) và (2) suy ra:  x = –1. 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x         Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = –1

(0,5 điểm)

Bài 4 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M. Giải:

– Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N  BCND là hình bình hành

Suy ra: BC = DN

(1 điểm) – Mặt khác: AD + BC = 2EF mà …