Khảo sát hàm số và ứng dụng trong các kỳ thi tuyển sinh đại học (đề chính thức)

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 -

Khảo sát hàm số và ứng dụng trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức) Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2013 Cho hàm số  3 2 3 3 1 1 y x x mx     với m là tham số thực a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 b. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng   0;

Hướng dẫn giải Ta có : 2 ' 3 6 3 y x x m    Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng   0; khi và chỉ khi ' 0, y  với mọi x > 0

Điều này tương đương 2 2 , m x x   với mọi x > 0 Xét hàm số 

2 2 f x x x   với mọi x > 0. Ta có:    ' 2 2; ' 0 1 f x x f x x      Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 1 m  Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2013 Cho hàm số    3 2 2 3 1 6 1 y x m x mx     với m là tham số thực a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1 b. Tim m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 2 y x  

Hướng dẫn giải

Ta có :   2 1 ' 6 6 1 6 ; ' 0 x y x m x m y x m         

Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là 1 m  Ta có:     3 2 1;3 1 , ; 3 A m B m m m    Hệ số góc của đường thẳng AB là  

2 1 k m  

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 2 y x   khi và chỉ khi 1 k  0 2 m m

    

Vậy giá trị m cần tìm là m = 0 hoặc m = 2

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2013 Cho hàm số    3 2 2 3 1 1 1 y x mx m x      với m là tham số thực a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 b. Tìm m để đường thẳng 1 y x  cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng 1 y x  là

  

3 2 2 0 2 3 1 1 1 2 3 0 *

x x mx m x x x mx m

         

Yêu câu bài toán tương đương với phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

2 0 9 8 0

8 0 9

m m m m m

            

ThuVienDeThi.com

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 -

Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng-2013

Cho hàm số 2 1 1 x y x

  

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa dộ Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB

Hướng dẫn giải Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5, suy ra

     2 1 ;5 5 2 2;5 1 m M m C m M m

       

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là    ' 2 2 5 : 3 11 y y x d y x      

Do đó: d cắt trục Ox tại 11;0 3 A     

, cắt trục Oy tại   0;11 B .

Diện tích tam giác OAB là 1 1 11 121 . . .11 2 2 3 6 S OAOB   

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012 Cho hàm số    4 2 2 2 1 1 y x m x m     , với m là tham số thực a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =0 b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Hướng dẫn giải Ta có:     3 2 ' 4 4 1 4 1 y x m x x x m      

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi 1 0 1 m m    (*) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là       2 0; , 1; 2 1 , 1; 2 1 A m B m m C m m        .

Suy ra     2 1; 1 AB m m     

và     2 1; 1 AC m m    

Ta có AB AC  nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi . 0 AB AC  

Tương đương     4 1 1 0. m m     Kết hợp với điều kiện (*), ta được giá trị m cần tìm là m=0

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012 Cho hàm số  3 2 3 3 3 1 y x mx m    , m là tham số thực a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 0 ' 3 6 ; ' 0 2 x y x mx y x m       

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị …