Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2016 - 2017 (vòng I) môn Toán

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2016 - 2017 (VÒNG I) Môn: Toán. Thời gian: 150 phút

Đề bài Bài I(4 điểm) Cho biểu thức:

3

2

3 6 2 3 2 3 1 3 x x x A x x x x          

1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.

2. Tìm x để . 2 A x  

3. Cho x 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của A 

Bài II(4 điểm)

1. Giải phương trình:a, ( x – 1)3 – (x – 3)3 = 98

b.

2 2 2 2 2 2 8 20 6 16 4 2 1 4 3 2 x x x x x x x x x x x x               

2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

x2 – 2x – 11 = y2

Bài III. (6 điểm)

a. Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì:

A = 3n + 2014 + 2012p2 là hợp số với mọi n N 

b. Cho 3 số a;b;c khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn a + b + c = 0

Tính giá trị biểu thức Q = ( )( ) a b c b c c a a b b c c a a b a b c          

c. Tìm x;y;z: để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó

B = 2x2 +2y2 + z2 + 2xy – 2xz – 2yz - 2x – 4y

Bài IV(6 điểm)

1. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H. Lấy điểm M nằm trên đoạn HB, điểm N nằm trên đoạn HC sao cho

. Chứng minh: 0 90 AMC ANB   

a. Tam giác AMN cân.

b. . . . AF BC BD AC AE BF 

2. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M không nằm trong hình chữ nhật. Chứng

minh MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

Tìm quỹ tích điểm M sao cho MA + MC = MB + MD

(Hết)

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm đề thi chọn HSG dự thi cấp tỉnh năm học: 2011-2012

(vòng I). Môn: Toán câu Đáp án Điểm 1. (2điểm) +) điều kiện xác định và 1 x  3 x  +) rút gọn A

          

3 3 2 3 6 2 3 3 1 3 8 24 1 3 1 3

x x x x x x x x x A A A x x x x x

                

Vậy

2 8 1 x A x

  

0,5 0,5

0.5

0,5

Bài I

2. (2 điểm)

2 8 2 2 1 10 0 1

10 0 à 1 0 10 0 à 1 0

1 10

x A x x x x x

x v x x v x

x x

          

       

   

Vậy x > -1 hoặc và thì 10 x  3 x  2 A x  

0,25

0,5

0,5

0,5

0.25 Bài II

1. (2,5 điểm) +) điều kiện 1,2,3,4. x  +) dùng hằng đẳng thức, tách các phân thức đưa phương trình về dạng:

1 4 7 2 1 4 3 2 x x x x       

      1 1 5 8 0 1 4 2 3 x x x x x

               

hoặc 5 8 0 x         1 1 0 1 4 2 3 x x x x      

*) (thỏa mãn) 8 5 8 0 5 x x    

*) (chứng tỏ phương trình vô      1 1 0 1 4 2 3 x x x x      

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

nghiệm). Vậy phương trình có nghiệm 8 5 x  0,5

0,5 1. (3 điểm)

với mọi x

2

2 ) 1 0 4 8 1

x M x x M

      

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = -1 tại x = 0.

 

2

2

4 ) 1 0 4 8 1

x M x x M

         Với mọi x Dấu “=” xảy ra khi x = 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 1 tại x = 4.

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài III

2. (2 điểm) vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số 2 1,2 2,2 3 a a a    chia hết cho 3 chia hết cho 3     2 1 2 2 2 3 a a a   

- Nếu thì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không 1 b  chia hết cho 3 (vô lí) b = 0.  Thay b = 0 vào ta tìm được a = 3. Vậy a = 3 và b = 0.

0,5

0,5

0,5 0,5

Bài IV

0,5

ThuVienDeThi.com