Đề thi học sinh giỏi toán THCS giải thưởng Lương Thế Vinh năm học 2012 - 2013 môn Toán lớp 8

1

PHÒNG GD – ĐT TP. THỦ DẦU MỘT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

GIẢI THƯỞNG LƯƠNG THẾ VINH

NĂM HỌC: 2012-2013

MÔN TOÁN: LỚP 8 Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Ngày thi : 30/3/2013

Bài 1: (3d)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24

b) Cho a,b,c thoả mãn: 2 2 2

0

2009

a b c

a b c

        Tính A = a4 + b4 + c4

Bài 2: (3đ)

a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz

b) Cho Phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. 2 1 3 2 2 x m x x x      

c) Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0). Chứng minh rằng : 1 1 1 9 a b c   

Bài 3(2đ) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn DB, DC lần lượt lấy

điểm E và F sao cho . Chứng minh rằng . A A EAD FAD 

2

2 . . BE BF AB CE CF AC 

Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC, các điểm D và M di động trên AB sao cho AD = BM. Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N. Chứng minh rằng : tổng DE + MN không đổi.

------------Hết------------

ThuVienDeThi.com

2

Giải

Bài 1: (3d)

a) Cho a,b,c thoả mãn: 2 2 2

0

2009

a b c

a b c

        Tính A = a4 + b4 + c4 Cách 1: Ta có: a+b+c=0  a+b = -c  (a+b)2 – 2ab = c2

 (a+b)2 – c2 = 2ab  (a+b+c)(a+b-c) = 2ab  0 = 2ab  a=0 hoặc b=0  Nếu a=0  b = -c và b2 + c2 = 2009  b2 + b2 = 2009  2b2 = 2009

 b= và c = - 2009

2

2009

2

Do đó: A = a4 + b4 + c4 = (1)

4 4

4 2 2009 2009 1 0 2009 . 2 2 2   

 Nếu b=0  a = -c và a2 + c2 = 2009  a2 + a2 = 2009  2a2 = 2009

 a= và c = - 2009

2

2009

2

Do đó: A = a4 + b4 + c4 = (2)

4 4

4 2 2009 2009 1 0 2009 . 2 2 2   

Từ (1) và (2)  A = a4 + b4 + c4

2 1 2009 .2 

ThuVienDeThi.com

3

Cách 2: Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009  (a2 + b2 + c2 )2 = 20092  a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 20092  a4 +b4 +c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 20092  a4 +b4 +c4 = 20092 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) (1) Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009  (a+b+c)2 - 2ab - 2ac - 2bc = 2009

 ab+ac+bc ( do a+b+c = 0) 2009

2 

 (ab+ac+bc )2

2 2009

4 

 a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2a2bc + 2b2ac + 2c2ab

2 2009

4 

 a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a+b+c)

2 2009

4 

 a2b2 + b2c2 + c2a2 ( do a+b+c = 0)

2 2009

4 

(1)  a4 +b4 +c4 = 20092 -2.

2 2009

4

 a4 +b4 +c4

2 2009

2 

Bài 2: (3đ)

a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz Cách 1: Ta có: (x-y)2 ≥ 0 với mọi x,y  R Tương tự : (y-z)2 ≥ 0 , (z-x)2 ≥ 0 với mọi x,y,z  R Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: x2 – 2xy + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ 0  2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy+yz+xy) ≥ 0  (x2 + y2 + z2 ) - (xy+yz+xy) ≥ 0  (xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 )  3(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) + 2(xy+yz+xy) 3(xy+yz+xy) ≤ (x + y + z)2 = 9  (xy+yz+xy) ≤ 3 Vậy B = 3 thì đạt giá trị lớn nhất Dấu “=” xảy ra khi x=y=x =1

Cách 2: Ta có: B = xy + yz + xz và x + y + z = 3 B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y) =xy + 3(x+y) – (x+y)2 = -x2 – y2 – xy + 3x + 3y

ThuVienDeThi.com

4

=  

2 2 2 3 3 6 9 3 1 3 3 2 4 4 y y y x y                 

Dấu “=” xảy ra khi

1 0

3 0 1 2

0

y

y x x y z

x y z

          

    Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x=y=z=1

b) Cho Phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. 2 1 3 2 2 x m x x x       Đk: x ≠  2 Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2)  2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12  (1-m)x = 2m – 14

   2 7

1

m x m

  

Đề phương trình có nghiệm dương x > 0 khi (1)

7 0 7( ) 1 0 1

1 7 7 0 7 1 0 1

m m loai m m

m m m m m

                                        

+Với Đk x ≠ 2  ≠ 2  m ≠ 4 (2)   



2 7

1

m

m Từ (1), (2) Vậy 1< m < 7 và m ≠ 4 thì phương trình trên có nghiệm dương .

ThuVienDeThi.com