Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT

Môn : Toán Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1:

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = với m = 1. 1 x

2 2mx 2



  x

2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 là như nhau. Bài 2:

1) Giải phương trình x2 + 5 4 4x -

4

2

2

  x

x

2) Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của:

F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2 theo a Bài 3: 1) Giải bất phương trình:

> 1  

6) ( log - log 2 x - 2 2 2 3 2

  

x x x

2) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC đều: 

  

 

 

C B A

c b a

2

2

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SB = x, tất cả các cạnh còn lại bằng b

(b > ) 3 x

a) Tính thể tích hình chóp theo b và x b) Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất.

Bài 5: Cho Elip (E) có phương trình: và M(1, 1) 1 4 y 9

2 2

  x

Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho MA = MB.

Bài 6: Tính : I =      1

0

6

4

1 x

1 dx x

ThuVienDeThi.com

hướng dẫn và biểu điểm chấm Đề thi học sinh giỏi lóp 12 THPT

Môn : Toán Thời gian làm bài: 180 phút

Bài Nội dung Điểm Bài 1 1) Với m = 1, hàm số trở thành: y = 1 x

1 1 x 1 x

2 2x 2

    

  x

1.1- Tập xác định: D = R \  1  1.2- Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên:

Ta có: y’ = 1 - cho y’ = 0 1 - = 0 (x+ 1)2 = 1  

; 1 1

2  x

   1 1

2  x







 

 

1 - 1 x

1 1 x  







2 - x

0 x

Xét dấu y’: + -1 +

- 2 0

Hàm số đồng biến trên khoảng (- ; -2) (0; + ) và nghịch biến    trên khoảng (-2; -1) (-1; 0)  b) Cực trị: Tại x = -2 , hàm số đạt giá trị cực đại , yCĐ = y(-2) = -2 Tại x = 0 , hàm số đạt giá trị cực tiểu , yCT = y(0) = 2 c) Tính lồi lâm và điểm uốn (không xét)

d) Giới hạn:    

  

      1 x

2 2x x lim lim

2

x x

y

   

  

      1 x

2 2x x lim lim

2

x x

y

* (D1): x = -1 là tiệm cận đứng vì = 1 lim

  x

y 

* (D2): y = x + 1 là tiệm cận xiên vì = = 0   lim

x   1) (x -  y

 1

1 lim

x x

2 ®

0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

e) Bảng biến thiên: x - -2 -1 0 + (C)  

y’ + 0 - - 0 +

y -2 + +  

- - 2  

1.3- Đồ thị:

Gọi (C): y = 1 x

2 2x 2



  x

(C) oy = (0; 2)  (C) ox vì phương trình: 

= 0 vô nghiệm 1 x

2 2x 2



  x

* Nhận xét: Gọi I là giao của 2 tiệm cận I(-1; 0) là tâm đối xứng của đồ thị (C) 

2) y = TXĐ: D = R\ 1 x

2 2mx 2



  x  1 

Ta có: y’ =        

2

2

2

2

1 x

2 - 2m 2x x 1 x

2 2mx x - 1 2m 2



   

    x x

Hàm số có cực đại, cực tiểu y’ = có 2 nghiệm phân   

2

2

1

2 - 2m 2x



 

x x

biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm m < (*)  2 3

* Giả sử các điểm cực đại, cực tiểu A1(x1, y1) và A2(x2,y2) có x1, x2 là 2 nghiệm của: x2 + 2x + 2m – 2 = 0 và có: y1 = 2x1 + 2m , y2 = 2x2 + 2m . Khoảng cách từ A1 và A2 tới đường thẳng x + y + 2 = 0 sẽ bằng nhau.

 2 2m 3x 2 2m 3x 2 y x 2 y 2 1 2 2 1 1            x 3(x1 + x2) = - (4m + 4) 

3(-2) = - (4m + 4) m = (thoả mãn (*))   2 1

0,75

0,5

0,25

0,25

-2

-2

1

y

x

x= -1

ThuVienDeThi.com