Đề thi chọn học sinh giái cấp trường năm học 2015 - 2016 môn thi Toán lớp 12

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2015-2016 Môn thi: Toán - LỚP : 12

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1(4 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + 1 a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có diện tích bằng . 4 2 Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau

a) cos2x 2 sin(x ) 2 4 1 1 sin x

   

  b) cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x Bài 4: (2điểm) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2y(1 13y ) x(1 x ) 3xy(x y)

x (x 2) 2(1 4y)

           Bài 5(2 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau .Tính xác suất để các chữ số 0,1,2 có mặt trong số viết được . Bài 6:(2 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức

thu được đa thức p(x) = ao + a1x+ … +an xn 2 n * p(x) 1 x 2(1 x) ... n(1 x) ,n N       

Tính hệ số a8 biết n thỏa mãn 2 3 n n

1 7 1 C C n  

Bài 7(2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân ở A có H(2;1) là

trung điểm của BC, và đường thẳng AC có phương trình 2x – y +2 = 0. 5 AB BC 2 

Tìm tọa độ điểm A.

Bài 8:(4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SC (ABCD) , SC = , đáy ABCD là  3a

2 hình thoi có cạnh bằng a và . 3 A o ABC 120  a)Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BD.

……………..HÕt………………….

ThuVienDeThi.com

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá Trường thpt lê văn linh

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Năm học: 2015-2016 Môn thi: Toán – LỚP : 12

BÀI ĐÁP ÁN THANG

ĐIỂM 1a y = x4 – 2mx2 + 1 a)Với m = 1 : y = x4- 2x2 + 1© +) Tập xác định : D = R

+) Sự Biến thiên: ;y’ = 4x3 – 4x ; y’ = 0

x

y lim



 x 0 x 1      Bảng biến thiên

x -1 0 1   y’ 0 0 0 y 1   0 0

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -1;0) và ( 1; ) , nghịch biến  trên ( ;-1) và (0; 1)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , yCĐ = 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = , yCT = 0 1  +) Đồ thị : ( C) cắt Oy tại (0;1) ( C) cắt Ox tại (-1;0) và (1;0) Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng

12

10

8

6

4

2

2

10 5 5 10

0.25

0.25

0.5

0.5

0.5

1b y = x4 – 2mx2 + 1

Ta có: y’ = 4x3 – 4mx; y’ = 0 2 x 0

x m (*)

     Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi pt y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt, hay (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m> 0  Với m >0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0;1), B(- ; 1-m2) m C( ; 1-m2) m Phương trình đường thẳng BC là y + m2 – 1 = 0

Theo bài ra SABC= 4 2 1 BC.d(A,BC) 4 2 2  

.Vậy m = 2thỏa mãn bài toán 2 5 m.m 4 2 m 32 m 2      

0.5

0.5

0.25

0.25

0.5 2a

Điều kiện: Khi đó x k2 (k Z) 2     

cos2x 2 sin(x ) 2 4 1 1 sin x

   

 

0.5

0.5

ThuVienDeThi.com

2 2cos x 1 (sin x cos x) 2 1 sin x     

2

cos x 0 x n 2 2cos x cos x 0 (n Z) 1 cos x x n2 2 3

                        Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là

x = n2 , x= +n2 (n Z) 2 3        

0.75

0.25

2b cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x

2 cos6x 2cos6x.sin x 2cos x 1 2cos5x.sin 2x cos6x sin 7x sin5x cos2x sin 7x sin3x cos6x cos2x (sin5x sin3x) 0

cos4x 0 2cos4x(cos2x sin x) 0

cos2x sin x cos( x) 2 k x 8 4 k2 x (k 6 3

x k2 2

              

                                 

Z) 

0.5

1.0

0.5

4 2 2

2 2 2y(1 13y ) x(1 x ) 3xy(x y) (1)

x (x 2) 2(1 4y) (2)

           Ta có : (1) (*) 3 3 (x y) (x y) 27y 3y       Xét hàm số f(t) = t3 +t ( t R) có f’(t) = 3t2+ 1 > 0 với mọi t  f(t) là hàm số đồng biến trên R mà (*) có dạng f(x+y) = f(3y) nên  x + y = 3y x= 2y . thay vào (2) ta được 

x4 = 2x2+4x + 2 = 2(x+1)2

2

2 x 2x 2 2 2 4 2 x 2 x 2x 2

        

  

Từ đó kết luận nghiệm của hệ pt

0.5

0.5 0.5

0.25

0.25 5 Gọi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là abcdef +)Có 9cách chọn a,có cách chọn bộ 5

9 A bcdef

= …