Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 môn Toán Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Page 1

Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

2 1 m 4 

Câu 1. (2 điểm)

Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

(2) Đường thẳng ∆ đi qua điểm cực đại của (C) và hệ số góc bằng 2 1 m 4  . Tìm các giá trị của m

    1 cot x cot 2x .sin x  

để khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C) đến đường thẳng ∆ lớn nhất. Câu 2. (1 điểm)

Giải phương trình 1 – 3cosx + cos2x =     1 cot x cot 2x .sin x  

  4 y 19 20 x y

x x 2y 2

         Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình:   4 y 19 20 x y

x x 2y 2

        

 

 

2 1

2 0 2 x.lnx 1

x 1



  Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I =  

 

2 1

2 0 2 x.ln x 1

x 1



  dx.

0 30 Câu 5. (1 điểm)

Hình chóp S.ABC có AB = BC = CA = SA = a, góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0 30

a b c d 2 b c c d d a a b        

, H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) thuộc đường thẳng BC. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Câu 6. (1 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:

a b c d 2 b c c d d a a b        

 

Câu 7. (1 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (1; 3) và hai đường thẳng d1: x – y + 1 = 0, d2: 2x + y + 2 = 0. Viết phương trình dạng tổng quát của đường thẳng l đi qua A và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm B và C cho 2AB = 3AC. Câu 8. (1 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P1): x + y − 2z + 9 = 0 và (P2): 2x – y + z + 2 = 0. Hãy lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x – 4y + z + 5 = 0,  : 2x + 2y – 3z – 5 = 0 và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1),

(P2).

 Câu 9. (1 điểm)

Số phức z = x + 2yi (x, y  z R) thay đổi thỏa mãn z = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của biểu thức P = x – y.

BỘ ĐỀ VTEST SỐ 8

ThuVienDeThi.com

Page 2

2 1 : y (m )x 2 4    

Đề thi thử Đại học lần IV năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1. (2 điểm)

1. (1 điểm): Học sinh tự giải 2. (1 điểm) Điểm cực đại là A(0 ; 2) và cực tiểu là B (2 ; – 2)

Pt của 2 1 : y (m )x 2 4    

 Gọi h là khoảng cách từ B đến   . Ta luôn có h  

AB. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB 

A B ( 2 ;  

. (0,5 điểm)

Ta có AB (2; 4)    và vectơ chỉ phương của  2 1 u(1; m ) 4  là 2 1 u (1; m ) 4 

 2 2 1 1 1 AB.u 0 2 4(m ) 0 m m 4 4 2           Khi đó AB  2 2 1 1 1 AB.u 0 2 4(m ) 0 m m 4 4 2          



(0,5 điểm) Câu 2. (1 điểm) Điều kiện: sin2x 

1 1 .sin x sin 2x



2 1 3cosx cos2x 2cosx 2cos x cosx 0       cosx(2cosx 1) 0   

0

Pt đã cho tương đương với pt : 1 – 3cosx + cos2x = 1 1 .sin x sin 2x



2 1 3cosx cos2x 2cosx 2cos x cosx 0       cosx(2cosx 1) 0   

0  cosx 0  

(0,5 điểm)

Do sin2x 0  cos x 0   1 cosx x 2k (k Z) 2 3         nên 2cosx – 1 = 0 1 cos x x 2k (k Z) 2 3         .

x 2k 3    (k Z) 

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là:

x 2k 3    (k Z)  (0,5 điểm)

Câu 3. (1 điểm)

0, x 2y 0    Điều kiện x 0, x 2y 0   

x x 2y 2 2x 2y 2 x(x 2y) 2 x(x 2y) 1 (x y)            

2 2 2 2 x y 1 x y 1

x 2y 1 2(x y) x 2xy y 2(x y) 1 y

                   

Ta có x x 2y 2 2x 2y 2 x(x 2y) 2 x(x 2y) 1 (x y)            

2 2 2 2 x y 1 x y 1

x 2y 1 2(x y) x 2xy y 2(x y) 1 y

                   

2 4 2

2 y 1 y 10y 9 0

y 9

        

Thay vào 2(x + y) = 1 + y2 và pt y4 + 19 = 20(x + y), ta được:

y4 + 19 = 10(1 + y2) 2 4 2 2 y 1 y 10y 9 0

y 9

        

2 10 1 y 2(x y) 2      Với y2 = 9 2 10 1 y 2(x y) 2      vô lý. Trường hợp này vô nghiệm.

2 y 1 x 0 y 1 y 1 x 2             Với 2 y 1 x 0 y 1 y 1 x 2            

(thỏa mãn điều kiện)

BỘ ĐỀ VTEST SỐ 8

ThuVienDeThi.com