Các mối quan hệ thường dùng trong việc tính nguyên hàm và tích phân

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

Facebook.com/mathvncom 1

CÁC MỐI QUAN HỆ THƯỜNG DÙNG

TRONG VIỆC TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Trần Tuấn Anh

Khi nhìn vào một bài giải cho bài toán tính nguyên hàm hay tích phân bằng phương pháp đặt ẩn

phụ (hay phương pháp đổi biến số)ï, bạn đọc thường có câu hỏi: tại sao lại chọn đặt ẩn phụ như vậy?

Làm sao chọn ẩn phụ thích hợp?... Những kiến thức dưới đây sẽ giúp các bạn định hướng được phép đặt

ẩn phụ cho mình một cách nhanh chóng mà không phải mày mò làm giảm tốc độ tính nguyên hàm, tích

phân của các bạn.

Trước tiên các bạn cần lưu ý hai kết quả mà chúng ta thường dùng sau đây :

- ( 1 ) ( ) '( ) df x f x dx = .

- ( 2 ) Nếu ( ) ( ) f u du F u C = + ∫ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

( ( )). '( ) ( ( )) ( ) ( ( )) f u x u x du f u x du x F u x C = = + ∫ ∫

Ví dụ: 2 2 2 cos(2 3 1) (2 3 1) sin(2 3 1) x x d x x x x C + + + + = + + + ∫ .

(ta hiểu trong suy nghĩ “ 2 2 3 1 x x + + ” là u )

Sau đây chúng ta tìm hiểu các mối quan hệ quan trọng giúp chúng ta tìm nhanh phép đặt ẩn phụ

và định hướng nhanh cách giải cho bài toán nguyên hàm, tích phân.

1. Quan hệ giữa nx và 1 nx + ( 1 n ≠−)

Ta có: 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1)

n n n n n dx n x dx x dx dx d ax b n a n

+ + + = + ⇔ = = + + + , trong đó 0 a ≠ còn b tùy ý trên

ℝ. Vậy ta có quan hệ giữa nx và 1 nx + ( 1 n ≠−) như sau:

1 1 ( ) ( 1)

n n x dx d ax b a n

+ = + +

www.MATHVN.com

ThuVienDeThi.com

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

Facebook.com/mathvncom 2

Ví dụ 1. Tính: 2 3 9 1 (2 1) I x x dx = + ∫ .

Phân tích : Theo lối giải thông thường, các bạn sẽ khai triển biểu thức 3 9 (2 1) x + , sau đó nhân với 2 x để

đưa về nguyên hàm dễ tính hơn. Thế nhưng việc khai triển biểu thức 3 9 (2 1) x + là không đơn giản? Do vậy,

cách này đã tỏ ra không hiệu quả! Nếu giải bài toán này bằng phương pháp đổi biến số, ta chọn ẩn phụ là

3 2 1 u x = + . Tại sao lại chọn được ẩn phu như vậy? Bây giờ các bạn để ý quan hệ giữa 2x và 3x như sau:

2 3 1 (2 1) 6 x dx d x = + , nên ta có 2 3 9 3 9 3 1 (2 1) (2 1) (2 1) 6 x x dx x d x + = + + . Do đó, việc chúng ta

chọn ẩn phụ là 3 2 1 u x = + là hoàn toàn tự nhiên, không mang tính áp đặt.

Bài giải: 2 3 9 3 9 3 1

1 I x (2x 1) dx (2x 1) d(2x 1) 6 = + = + + ∫ ∫ .

Đặt 3 3 u 2x 1 du d(2x 1) = + ⇒ = + .

Ta có:

10 10 9 1 1 1 u u I u du . C C 6 6 10 60 = = + = + ∫ .

Thay 3 u 2x 1 = + ta được:

3 10

1 (2 1) 60

+ = + x I C .

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh

hơn như sau:

2 3 9 3 9 3 1

1 I x (2x 1) dx (2x 1) d(2x 1) 6 = + = + + ∫ ∫

3 10 (2x 1) C 60

+ = + . (ta hiểu trong suy nghĩ “ 3 2x 1 + ” là “u”)

2. Quan hệ giữa 2 1 x

và 1

x

www.MATHVN.com

ThuVienDeThi.com

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

Facebook.com/mathvncom 3

Ta có

'

2 1 1 x x −  =     nên quan hệ cần xét giữa 1

x

và 2 1 x

là: 2 1 1     = − +      

a dx d b a x x

Ví dụ 2. Tính:

3 1

1 2

x e I dx x

+ = ∫ .

Phân tích:Nếu chưa được biết đến sự quan hệ giữa 2 1 x

và 1

x

thì thật không dễ để chúng ta tìm ra ngay phép

đặt ẩn phụ! Các bạn để ý quan hệ giữa 2 1 x

và 1

x

: 2 1 1 3 1 3 dx d x x

  −    = +      

nên ta

có

3 1 3 1

2

1 3 1 3

x x e dx e d x x

+ +    = − +       

. Do đó, ta có thể chọn ẩn phụ là 3 1 u x = + .

Bài giải:

3 1 3 1

1 2

1 3 1 3

x x e I dx e d x x

+ +    = = − +        ∫ ∫ .

Đặt 3 3 u 1 du d(1 ) x x = + ⇒ = + .

Ta có: u u 1

1 1 I e du e C 3 3 − − = = + ∫ .

Thay 3 u 1 x = + ta được:

3 1

1 1 3

x I e C + = − + .

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh

hơn như sau:

3 1 3 3 1 1

1 2 1 3 1 1 3 3

x x x e I dx e d e C x x

+ + +    = = − + = − +        ∫ ∫ .

www.MATHVN.com

ThuVienDeThi.com