Đề chọn đội tuyển Olympic toán sinh viên Đại học sư phạm Hà nội năm 2013

Ngày 24 tháng 8 năm 2014 Đề chọn đội tuyển Olympic toán Sinh viên ĐH Sư phạm HN năm 2013 - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/to%C3%A1n-cao-c%E1%BA%A5p/%C4%91%E1%BB%81-thi-to%C3%A1n-cao-c%E1%BA%A5p/608-%C4%91%E1%BB%81… 1/2

Chuyên mục: Đề thi toán cao cấp

Đề chọn đội tuyển Olympic toán Sinh viên ĐH Sư

phạm HN năm 2013

Võ Văn Đức

Thứ hai, 08 Tháng 4 2013 19:40

Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp n trong đó

Chứng minh rằng

ở trong đó

Câu 2: Cho A là ma trận thực có hạng bằng . Chứng minh rằng các ma trận và cũng có hạng bằng .

Câu 3: Giả sử các ma trận vuông cùng cấp đều là nghiệm của đa thức và . Hãy tính

Câu 4: Cho phương trình có nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng:

Câu 5: Cho đa thức bậc và . Biết rằng các đa thức và Có chính xác n nghiệm thực. Chứng minh rằng đa thức cũng có chính xác

A = (aij)1⩽i,j⩽n

= { aij

ci

0

nếu j ≡i + 1( ) mod n các trường hợp còn lại

det(I + A + + ⋯+ ) = (1 −c A2 An−1 )n−1

c = . . . c1 cn

r AAt A At

r

A, B f(x) = −x x2

AB + BA = O det(A −B)

+ + ⋯+ x + = 0 a0xn a1xn−1 an−1 an n (n −1) > 2n a2

1 a0a1

P(x) = + + ⋯+ x + anxn an−1xn−1 a1 a0 n > 0 an P(x) P(P(x)) P(P(P(x))) n

ThuVienDeThi.com

Ngày 24 tháng 8 năm 2014 Đề chọn đội tuyển Olympic toán Sinh viên ĐH Sư phạm HN năm 2013 - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/to%C3%A1n-cao-c%E1%BA%A5p/%C4%91%E1%BB%81-thi-to%C3%A1n-cao-c%E1%BA%A5p/608-%C4%91%E1%BB%81… 2/2

nghiệm thực.

Câu 6: Cho là đa thức bậc với các hệ số thực chỉ có các nghiệm thực. Chứng minh rằng:

BBT xin trân trọng cảm ơn bạn Phí Tiến Cường - Sinh viên ĐH Sư phạm HN đã cung cấp cho chúng tôi đề thi này

P(x) n

(n −1)( (x) ≥nP(x) (x), ∀ x ∈R P ′ )2 P ′′

ThuVienDeThi.com