Đề khảo sát học sinh giỏi lần 2 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Vũ Thư (Có đáp án)

phòng GD - ĐT Vũ Thư

--- *** ---

Đề khảo sát học sinh giỏi LẦN 2 Môn: Toán lớp 8 - Năm học: 2016 -2017

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 3 2 2 3 A 2a 7a b 7ab 2b     b) 2 B 6x 13x 5        2 2 2 c) C x x 2 x 2     

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Tìm các số a và b sao cho đa thức

4 3 2 f (x) x x ax 3x b      chia cho đa thức

2 g(x) x 2x 3    có dư là 2x + 5 b) Cho đa thức

4 3 2 P(x) x ax bx cx d      (a, b, c, d là các số thực xác định). Biết P(1) = 2016; P(2) = 4032; P(3) = 6048. Tính P(5) + P(-1).

Câu 3. (2 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

2 2 2 x 4y 3z 1 18yz 9xz 2xy   

Tính giá trị biểu thức: x 11y z N 1 20 2 y z 2x                 

Câu 4. (4 điểm)

a) Cho các số thực x, y thỏa mãn

3 2 2 x 9x y 10x x 9y 10     

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 M x 9y  

b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn:

2 2 x 1 y 1 3 y x    

Câu 5: (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM = BF. Qua B kẻ một đường thẳng vuông góc với MC tại H cắt cạnh AD tại N.

a) Chứng minh MB = AN

b) Tứ giác CDNF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh HF  HD

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm bất kỳ trên trên cạnh BC (M khác B, C). Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng Qua M vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định.

----------- Hết --------sss---

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 2

Câu Hướng dẫn giải Điểm

Câu 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 3 2 2 3 A 2a 7a b 7ab 2b     b) 2 B 6x 13x 5        2 2 2 c) C x x 2 x 2     

4đ

3 3 2 2 A 2(a b ) 7(a b ab )     =

2 2 2(a b)(a ab b ) 7ab(a b)      0,5

=

2 2 (a b)(2a 5ab 2b )    0,5 a

(1,5 điểm)

= (a + b)(2a + b)(a + 2b) 0,5

2 B 6x 15x 2x 5     0,5

= 3x(2x + 5) - (2x + 5) 0,5 b

(1,5 điểm)

= (2x + 5)(3x - 1) 0,5

4 3 2 C x 2x 6x 8x 8      0,25 = (x4 + 4x2) - (2x3 + 8x) + (2x2 + 8) 0,5 c (1 điểm)

= (x2 + 4)(x2 - 2x + 2) 0,25

2

a) Tìm các số a và b sao cho đa thức

4 3 2 f (x) x x ax 3x b      chia cho đa thức

2 g(x) x 2x 3    có dư là 2x + 5 b) Cho đa thức

4 3 2 P(x) x ax bx cx d      (a, b, c, d là các số thực xác định). Biết P(1) = 2016; P(2) = 4032; P(3) = 6048. Tính P(5) + P(-1).

4đ

Gọi thương của phép chia f(x) cho g(x) là q(x). Ta có:

f (x) g(x).q(x) 2x 5    0,5

4 3 2 2 x x ax 3x b (x 2x 3)g(x) 2x 5         

4 3 2 x x ax 3x b (x 3)(x 1)g(x) 2x 5          

0,5

Cho x = -1 ta được: a + b = -2

Cho x = 3 ta được: 9a + b = -34

0,5

a

(2.0 điểm)

Tìm được a = -4 và b = 2 và kết luận 0,5

b Xét đa thức Q(x) = P(x) - 2016x 0,5

ThuVienDeThi.com

Ta có Q(1) = P(1) - 2016 = 0

Q(2) = P(2) - 4032 = 0

Q(3) = P(3) - 6048 = 0

 x = 1; 2; 3 là nghiệm của đa thức Q(x)

0,5

P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1, 2016x là đa thức bậc 1 nên đa thức Q(x) có bậc 4 hệ số cao nhất là 1. 0,25

 Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - k) (k là số thục cho trước) 0,25

(2.0 điểm)

 P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - k) + 2016x

Từ đó tính được P(5) + P(-1) = 8208

0,5

Câu 3

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

2 2 2 x 4y 3z 1 18yz 9xz 2xy   

Tính giá trị biểu thức: x 11y z N 1 20 2 y z 2x                 

2đ

Từ

2 2 2

3 3 3 x 4y 3z 1 x 8y 27z 18xyz 18yz 9xz 2xy      

 x3 + (2y)3 + (3z)3 - 3.x.2y.3z

0,5

 (x + 2y + 3z)[(x - 2y)2 + (2y - 3z)2 + (3z - x)2] = 0 0,5

Suy ra được x = 2y = 3z 0,5 (2 điểm)

Tính được 949 N 4  0,5

Câu 4

a) Cho các số thực x, y thỏa mãn

3 2 2 x 9x y 10x x 9y 10     

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 M x 9y  

b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn:

2 2 x 1 y 1 3 y x    

4đ

Từ

3 2 2 2 x 9x y 10x x 9y 10 (x 1)(x 9y 10) 0           0,75

Suy ra x = 9y +10 0,25

M = 90y2 + 180y + 100 0,25

Biến đổi M = 90(y + 1)2 …