Đề thi hoc sinh gioi lơp 8 huyện Hạ Hòa năm hoc 2014 2015 môn Toán

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA

Đề chính thức

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm học: 2014 – 2015

Môn: Toán Ngày thi: 10 tháng 4 năm 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

( Đề thi có 1 trang)

Câu 1. (3,0 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: . 3 2 2 3 2 7 7 2 P a a b ab b    

Câu 2. (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức: . x x x x x

x x x

x R 4030 : 4 4 2 1 2 1

3 2 2    

  

  

 

Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức. x

2) Giải phương trình sau: . 840 ) 4 )( 3 )( 2 )( 1 (      x x x x

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh chia hết cho 24. n 3 n n 

2) Tìm số tự nhiên để là một số chính phương. n 2 4 2013 n n  

Câu 4. (7,0 điểm)

1) Cho hình thang vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và . ABCD 2 BC a 

a) Tính diện tích hình thang theo . ABCD a

b) Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC.

Chứng minh . A 0 45 HDI 

2) Cho tam giác có . Độ dài các đường phân giác ABC , , BC a CA b AB c    trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là . , , a b c l l l

Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1

a b c l l l a b c     

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho hai số không âm và thoả mãn . a b 1  b a

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . 1 1 a b S a b    

---------------Hết----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.......................

ThuVienDeThi.com

1

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Ngày thi: 10 tháng 4 năm 2015

Hướng dẫn chấm có 04 trang

Câu 1 Hướng dẫn giải (3.0 điểm) Ta có     3 3 2 7 P a b ab a b     0,5

       

2 2

2 2 2 7

2 2 5

a b a ab b ab a b

a b a b ab

     

    0.5

   2 2 2 4 2 a b a ab b ab      0.5

      2 2 2 a b a a b b b a          0.5

    2 2 a b a b a b     0.5

(3.0 điểm)

Kết luận     2 2 P a b a b a b     0.5 Câu 2 (5,0 điểm)

Ta có       2 1 1 4 . 2 2 4030 4 x x x R x x x x x x

                ĐK:   2 4 0 x x  

0.5

0

2 x x

    0.5

Khi đó:

2 1 1 1 4 4030 2 2 4 x x R x x x              

    

2 1 2 1 2 4 1 . 4030 4 x x x x x        

0.5

  2

2 2 4 1 1 . 4030 4 2015

x

x

   

0.5

1 (2.5 điểm)

Vậy xác định khi và R 0

2 x x

   

1 2015 R  0.5

. 840 ) 4 )( 3 )( 2 )( 1 (      x x x x      1 4 2 3 840 x x x x      

   2 2 5 4 5 6 840 x x x x      

0.5

Đặt phương trình trở thành 2 5 5 ( 0) x x y y        1 1 840 y y   

0.5

2

2

1 840

841 29

y

y y

 

   

0.5

2 (2,5 điểm)

Với y = 29 ta có: 2 4 5 29 x x    0.5

ThuVienDeThi.com

2

2

2 5 5 29

5 24 0

x x

x x

  

   

2 3x 8 24 0

( 3) 8( 3) 0

( 3)( 8) 0

3

8

x x

x x x

x x

x

x

    

    

   

    KL: Phương trình có tập nghiệm .   3, 8 S  

0.5

Câu 3 (4 điểm) Ta có    3 1 1 n n n n n     0.5

Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số 1; ; 1 n n n  

đó chia hết cho 3. Do đó (1)   3 3 n n   0.5

Vì là số tự nhiên lẻ nên và là hai số tự nhiên chẵn liên n 1 n  1 n  tiếp. Do đó (2)      3 1 1 8 8 n n n n       0.5

1 (2 điểm)

Vì và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) 3 suy ra (đpcm)   3 24 n n   0.5

+ Giả sử   2 2 4 2013 , n n m m    A

+ Suy ra     2 2 2 2 2 2009 2 2009 n m m n       

   2 2 2009 m n m n      

0.5

+ Mặt khác và nên 2009 2009.1 287.7 49.41    2 2 m n m n      có các trường hợp sau xảy ra:

 TH1: 2 2009 1005 2 1 1002 m n m m n n               

0.5

 TH1: 2 287 147

2 7 138

m n m

m n n

              

 TH3: 2 49 45

2 41 2

m n m

m n n

              

0.5

2 (2 điểm)

Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2. 0.5

ThuVienDeThi.com