Đáp án đề nghị kì thi olympic ĐBSCL Sóc Trăng năm học 2008 2009 môn Toán

1

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ NGHỊ KÌ THI OLYMPIC ĐBSCL SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009 -----o0o----- ----------///---------- Môn : Toán –Lớp 12

Câu 1: (3 điểm) Giải hệ phương trình:

2

2

2 4 4 2

2 4 4 2

log ( 4 5) 1 2

log ( 4 5) 1 2

y y

x x x x

y y

 

 

    

    Đáp án Đặt 2 2 4 4, v = y 4 4 (u,v 0) u x x y      

Hệ phương trình trở thành: (II) 0,25 đ 2

2

log ( 1) 1 2

log ( 1) 1 2

v

u u

v

       Giả sử (u0 ; v0) là một nghiệm của hệ (II). Giả sử 0 0 2 0 2 0 log ( 1) log ( 1) u v u v     

0 0

0 0 0 0 2 2 v u v u u v       Tương tự 0 0 0 0 0 0 u v v u u v     

Do đó: (II) 0,5 đ

2

2

log ( 1) 1 2

log ( 1) 1 2

u

v u

v

u v

          Đặt 2 ( ) 2 log ( 1) 1, D=[0;+ ) x f x x      1 '( ) 2 ln 2 ( 1)ln 2

x f x x   

0,25 đ 2

2 1 "( ) 2 ln 2 0 x D ( 1) ln 2

x f x x      Ta lập bảng biến thiên của f’(x): 0,25 đ

x 0 + f”(x) + f'(x) +

2 ln 2 1

ln 2



Suy ra phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a. Ta lập được bảng biến thiên của f(x) 0,25 đ

x 0 a + f'(x) - 0 + f(x)

f(a)

ThuVienDeThi.com

2

Suy ra phương trình (1) có nhiều nhất hai nghiệm 0,25 đ 2 ( ) 2 log ( 1) 1 0 x f x x     Mặt khác, ta nhận thấy x=0, x=1 là nghiệm của phương trình (1). Vậy phương trình (1) có đúng hai nghiệm là x=0, x=1. 0.5 đ Suy ra hệ (II) có hai nghiệm là (0;0) và (1;1) 0,25 đ Suy ra hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm: (2; 2), (1; 1), (3; 3), (1; 3), (3; 1) 0,5 đ

Câu 2: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc A cắt đường tròn tại D (D khác A). Chứng minh AB + AC < 2AD.

Đáp án

K

J

I

E

D

O

C B

A

Cách 1: Kẻ dây cung DE//AB Ta có 0,25 đ A A BAD ADE   BD = AE 0,25 đ  BE = AD 0,5 đ Ta cũng có A A A ADE DAB DAC    CD = AE 0,25 đ  AC = DE 0,25 đ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và DE; K là giao điểm của AD và BE. ABDE là hình thang cân hoặc hình chữ nhật nên ta có: I, J, K thẳng hàng 0,25 đ IJ vuông góc với AB và DE 0,25 đ Ta có AD = AK + KD > AI + DJ = ½(AB+AC) 0,75 đ  2AD > AB + AC 0,25 đ

Cách 2: Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp:

ThuVienDeThi.com

3

Tá có: 2 sin( ) 2 sin( ) 2 2 A A AD R B R C    

AB = 2RsinC, AC = 2RsinB

2 2 sin( ) 2 sin( ) 4 cos( ) 2 2 2 A A B C AD R B R C R       

2 sin 2 sin 4 sin cos 2 2 B C B C AB AC R C R B R      

Suy ra 2AD > AB + AC

Câu 3: (2 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 3 3 3 15 18 x y z   Đáp án Giả sử bộ ba số nguyên (x0; y0; z0) là nghiệm của phương trình. Dễ thấy nếu một trong ba số trên bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0  (0; 0; 0) là một nghiệm của phương trình. 0,25 đ Nếu cả ba số đều khác 0, đặt d = (x0, y0, z0) ta có x0 = dx1 , y0 = dy1 , z0 = dz1 với x1, y1, z1 nguyên. 0,25 đ Ta được  x1 chia hết cho 3. Đặt x1 =3x2, ta được 0,25 đ 3 3 3 1 1 1 15 18 x y z  

 y1 chia hết cho 3. Đặt y1 =3y2, ta được 0,25 đ 3 3 3 2 1 1 9 5 6 x y z  

 y1 chia hết cho 3. 0,25 đ 3 3 3 2 2 1 3 45 2 x y z  

 x1, y1, z1 có ước chung là 3 (mâu thuẫn) 0,5 đ Vậy phương trình chỉ có một nghiệm nguyên duy nhất là (0; 0;0) 0,25 đ

Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi

1

3 2 1

1 2

1 3 n 1 2 2 n n n

u

u u u 

        Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số.

Đáp án

Đặt 3 2 1 3 ( ) 2 2 f x x x  

Hàm số f(x) tăng trên [0;1] và ( ) [0;1] x [0;1] f x  

. Bằng qui nạp, chứng minh được 0,5 đ 1 1 1 , ( ) 2

n n u u f u    [0;1] 1 n u n  

Mặt khác 2 1 1 5 ( ) 16 u f u u    3 2 1 2 ( ) ( ) ,... u f u f u u    

Bằng qui nạp, chứng minh được dãy (un) giảm. 0,75 đ Dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn. 0,25 đ Gọi l là giới hạn của dãy số, do dãy số bị chặn dưới bởi 0, bị chặn trên bởi ½ nên

(*) 0,5 đ 1 0 2 l 

Chuyển qua giới hạn khi n tiến tới + trong biểu thức truy hồi ta được:

ThuVienDeThi.com