Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Hải Phòng (Bảng B)

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2,0 điểm) a) Cho hàm số ( ) 3 2 1 3 y mx mx m x = + + + −. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm

số nghịch biến trên . b) Cho hàm số bậc ba ( ) y f x = có đồ thị được biểu thị trong Hình 1. Tìm số giá trị nguyên

của tham số m trong đoạn [ ] 2020;2020 − để hàm số ( ) ( ) ( ) 2 4 h x f x f x m = + − có đúng

3 điểm cực trị.

Câu 2: (1,0 điểm) Cho 7 log 12 x = , 12 log 24 y = và 54 1 log 168 axy bxy cx + = + , trong đó a , b , c là các số

nguyên. Tính giá trị biểu thức 2 3 S a b c = + + .

Câu 3: (1,0 điểm) Giải phương trình 4 cos2 sin 2 sin 7cos 0 2sin 3 + + − − = + x x x x x

.

Câu 4: ( 1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

3 3 3 2 5 3 2 2 3 0 x x x x m m − + + − + + =

Câu 5: (1,0 điểm) Một bài thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó chỉ có một phương án đúng. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai được 0 điểm. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi câu một phương án trả lời. Hỏi điểm số nào có xác suất xuất hiện lớn nhất? Câu 6. ( 2,0 điểm) Cho khối tứ diện ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB CD ; P

là điểm nằm trong đoạn BC sao cho   1 BP kPC k   .

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD trong trường hợp ACD  vuông tại A , BCD  vuông cân tại B và AB AC AD a    . b) Mặt phẳng đi qua ba điểm , , M N P chia tứ diện thành hai khối đa diện có thể tích lần lượt là

1 2 , V V ( trong đó 1 V là thể tích của phần chứa điểm A ). Tính 2

1

V V

Câu 7: ( 2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có  75 ACB = °, ( ) 4; 2 B − − ; D là

điểm thuộc cạnh BC sao cho 2 DC DB = . Biết đường cao kẻ từ A có phương trình 2 0 x y + =

và  60 ADC = ° . Tìm tọa độ điểm A biết A có hoành độ âm.

2

Câu 8. (1.0 điểm) Cho các số thực dương , , a b c thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 1 2 2 2 8 2 2 2 4 1 p ab ab a b c ac = − + + + + +

.

____________________ HẾT ____________________

3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (2,0 điểm)

c) Cho hàm số ( ) 3 2 1 3 y mx mx m x = + + + −. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm

số nghịch biến trên . d) Cho hàm số bậc ba ( ) y f x = có đồ thị được biểu thị trong Hình 1. Tìm số giá trị nguyên

của tham số m trong đoạn [ ] 2020;2020 − để hàm số ( ) ( ) ( ) 2 4 h x f x f x m = + − có đúng

3 điểm cực trị.

Lời giải a) Nếu 0 m = ta có hàm số 1 y x = − là hàm số đồng biến trên  nên không thỏa mãn.

Xét 0 m ≠ ta có 2 3 2 1 y mx mx m ′ = + + + . Để hàm số nghịch biến trên  thì 0 y′ ≤ với mọi

x∈ ( ) 2 3 0

3 1 0

a m

m m m

= <  ⇔′ ∆= − + ≤ 

2 0

2 3 0

m

m m

<  ⇔− − ≤ 

0

2 3 0

m

m

<  ⇔ + ≤ 

3 2 m ⇔ ≤− .

b) Ta có hàm số ( ) h x có tập xác định là .

Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 4 g x f x f x m = + − . Khi đó:

Tập xác định D = .

( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 4 g x f x f x f x ′ ′ ′ = + ( ) ( ) 2 2 f x f x ′ = +    .

( ) 0 g x ′ = ( ) ( ) 2 2 0 f x f x ′ ⇔ + =    

( ) ( )

0

2

f x

f x

′ =  ⇔ = − 

.

Dựa vào đồ thị ta có

● ( ) 1 0 3

x f x x

=  ′ = ⇔= 

.

● ( ) 2 0 f x x a = −⇔ = < .

● ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 g f f ′ ′ = + <     do ( ) 2 0 f > , ( ) 2 0 f ′ < .

Bảng biến thiên