Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia lớp 12 môn Toán năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA

LỚP 12 THPT NĂM 2019 (Vòng 1)

Môn thi: Toán - THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/8/2018 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu) Câu 1 (4,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 

2 1 1 1 a b c a b c b c a a b c                   

Câu 2 (4,0 điểm). Cho dãy số   nx , * n được xác định bởi

2

* 1 1

1 2; , n n n

n

x x x x n x 

    .

Tìm 2 1

1 lim 1

n

i ix   

Câu 3 (5,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn  O . Gọi , M N lần lượt là trung

điểm các cung nhỏ  , BC AD . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của , OM ON . Gọi K là điểm đối xứng với O qua M .

a. Chứng minh rằng tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn.

b. Gọi , P Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên , AB AC . Chứng minh rằng AK PQ  . Câu 4 (4,0 điểm). Cho đa thức  P x có hệ số nguyên, bậc 2 và hệ số bậc 2 bằng 1 thỏa mãn tồn

tại đa thức  Q x có hệ số nguyên sao cho   . P x Q x là đa thức có tất cả các hệ số đều là 1 .

a. Chứng minh rằng nếu đa thức  P x có nghiệm thực 0x thì 0 2 x  .

b. Tìm tất cả các đa thức  P x . Câu 5 (3,0 điểm). Trên mặt phẳng cho   2 2 2 n n  đường thẳng sao cho không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Các đường thẳng này chia mặt phẳng ra thành các miền rời nhau. Trong các miền đó, gọi F là tập tất cả các miền đa giác có diện tích hữu hạn. Chứng minh rằng có thể tô n đường thẳng trong số 2 2n đường thẳng đã cho bằng màu xanh sao cho không có miền nào trong tập F có tất cả các cạnh màu xanh.

----------- Hết ----------- Họ và tên thí sinh: …………………………………………………… Số báo danh: …………........... Chữ ký CBCT số 1:………………................Chữ ký CBCT số 2…..............................………...........

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA

LỚP 12 THPT NĂM 2019 (Vòng 1)

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 12

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Chú ý: Những cách giải khác HDC mà đúng thì cho điểm theo thang điểm đã định.

Câu Nội dung Điểm 1 (4đ)

Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

 

2 1 1 1 a b c a b c b c a a b c                   

Lời giải.

 

2 1 1 1 a b c a b c b c a a b c                   

2 2 2

2 2 2 3 a b c a b c a a b b c c b c a c a b b c a c a b                               

2 2 2

3 a b c a b c a b c b c a c a b b c a                            

1

Theo AM – GM có 3 a b c c a b    (1) 1

2

1 2 a a b b      

2

2 1 a a b b         

Tương tự

2

2 1 b b c c       

và

2

2 1 c c a a       

1

2 2 2

3 a b c a b c a b c a b c b c a b c a b c a b c a                                     

(2)

Cộng từng về (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a b c   .

1

2 (4đ) Cho dãy số   nx , * n được xác định bởi

2

* 1 1

1 2; , n n n

n

x x x x n x 

    .

Tìm 2 1

1 lim 1

n

i ix   

Lời giải

Xét

2

1

1 1 1 n n n

n

x x x x 

   

2 1 n

n

x

x

  2 2 1

1 1 1 1 1 1 1

n

n n n n

x x x x x         

2

1

1 1 1 1 1 1 n n n x x x       

1

2 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n n

i i i i i n n x x x x x x     

                    1

Quy nạp được 1 1 1 1, 1 0, 1 , 1 n n n n n n n

x x n x x n x x n x           

Giả sử dãy   nx bị chặn trên suy ra dãy   nx có giới hạn hữu hạn và giả sử

lim 2 nx a a    .

1