Đề thi chọn HSG cấp trường năm học 2017 2018 môn Toán trường Trần Hưng Đạo Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO (Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,5 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị m để     3 2 1 1 3 2 3 3 m y x m x m x       đồng biến trên   2,

b) Cho hàm số   4 2 2 1 m y x mx m C     , với m là tham số thực. Xác định tất cả các giá trị

của m để hàm số   m C có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số

tạo thành một tam giác có một góc tù.

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình 2 3sin 2 3 1 2cos x x  

b) Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số 0,

2, 3, 5, 6, 8. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập A . Tính xác suất để số lấy được có chữ số

0 và chữ số 5 không đứng cạnh nhau.

Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình

3 3 2 2

2 6 3 14 5 9 ( , ) 1 2 1

x y x y x y x y x y y

ìï - + - + - =- ïï Î íï - - = - - ïïî 

Câu 4 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có

(5, 7) A  , điểm C thuộc đường thẳng có phương trình   1 : 4 0 d x y    . Đường thẳng đi qua

D và trung điểm của đoạn AB có phương trình   2 :3 4 23 0 d x y    . Tìm tọa độ của B và

C , biết điểm B có hoành độ dương.

Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a góc  0 60 BAD  ,

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với điểm G là trọng tâm tam giác

BCD. Góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng

cách giữa hai đường thẳng DC và SA theo a.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , , x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

    2 2 2 1 2 1 1 1 1 S x y z x y z        

---------------Hết---------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….………..…….................…….….….; Số báo danh:……….....……….

1

TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO (Đáp án có 05 trang) ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN THI: TOÁN KHỐI 12

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học không gian nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 a 1,25 Hàm số đồng biến /   2,      2 2 1 3 2 0 2 y mx m x m x        (1) 0,25

  2 1 2 2 6 2 m x x x             2 2 6 2 1 2 x g x m x x       

0,25

Ta có:    2

2 2 2 6 3 0 ( 2 3) x x g x x x       

1 2 3 6 3 6 x x x x        ;  lim 0 x g x   0,25

Từ BBT    2 2 Max 2 3 x g x g    . Vậy 2 3 m 

0, 5

b 1,25 Tập xác định D 

Ta có   3 2 ' 4 4 4 y x mx x x m     . Khi đó hàm số   m C có 3 điểm cực trị khi và chỉ

khi ' 0 y  có 3 nghiệm phân biệt 2 0 x m    có 2 nghiệm phân biệt khác 0

0 m  

0,25

Phương trình ' 0 0, y x x m     . Giả sử 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số   m C

là , , A B C . Khi đó       2 2 0; 1 , ; 1 , ; 1 A m B m m m C m m m         .

0,25