Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2020 2021 sở GD ĐT TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HCM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021

MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,0 điểm)

Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn điều kiện 2020 + + = + + + a b c b c c a a b .

Tính giá trị của biểu thức ( )

2 2 2 :   = + + + +   + + +  

a b c P a b c b c c a a b .

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2 2 2 9 2 1 4 + + + − + = + x x x x x .

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 3 2 2 8 6 1

8 1

 − = − +  = + − + 

y xy x x

y x x x

.

Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( ) < < AB BC CA nội tiếp đường tròn ( ) O . Từ A kẻ đường thẳng song

song với BC cắt ( ) O tại 1A . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( ) O tại 1B . Từ C kẻ

đường thẳng song song với AB cắt ( ) O tại 1 C . Chứng minh rằng các đường thẳng qua 1 1 1 , , A B C

lần lượt vuông góc với , , BC CA AB đồng quy.

Câu 4: (2,0 điểm)

a) Cho 2 số thực ,a b . Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 ( ) 2 2 + − ≥ + + + a b a b ab a b .

b) Cho hai số dương ,a b thỏa mãn điều kiện 3 + ≤ a b .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 20 7 = − + + Q b a a b .

Câu 5: (2,0 điểm) Đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh , , AB BC CA lần lượt tại , , . D E F

Kẻ đường kính EJ của đường tròn ( )I . Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC . Đường

thẳng JD cắt , d BC lần lượt tại , L H .

a) Chứng minh: , , E F L thẳng hàng.

b) , JA JF cắt BC lần lượt tại , M K . Chứng minh: = MH MK .

Câu 6: (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương ,x y thỏa mãn phương trình 3 3 1 − = x y .

-------------------- HẾT --------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

Lời giải tham khảo

Câu 1: Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn điều kiện 2020 + + = + + + a b c b c c a a b .

Tính giá trị của biểu thức ( )

2 2 2 :   = + + + +   + + +  

a b c P a b c b c c a a b .

Hướng dẫn giải

( )

( ) ( )

2 2 2 :

1 1 1 1 1 1 1 .

1 . . .

1 .

  = + + + +   + + +  

        = + − + + − + + −         + + + + +         + + + + + +   = − + − + −   + + + + +  

    = + + + + − + +     + + + + +    

= + + + +

a b c P a b c b c c a a b

a b c a b c b c c a a b a b c

a b c a b c a b c a a b b c c b c c a a b a b c

a b c a b c a b c b c a c a b a b c

a b c b c a c 1 2020 1 2019 −= −= + a b

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2 2 2 9 2 1 4 + + + − + = + x x x x x .

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 3 2 2 8 6 1

8 1

 − = − +  = + − + 

y xy x x

y x x x

.

Hướng dẫn giải

a. 2 2 2 9 2 1 4 + + + − + = + x x x x x Điều kiện ∈ x .

Đặt

2 2 2

2 2 9 0 4 2 2 1 0

= + + > −  ⇒ = +  = − + > 

a x x a b x b x x

Khi đó phương trình trở thành

2 2 2( ) ( )( ) 2 2 − + = ⇔ + = − + ⇔ − = a b a b a b a b a b a b (do 0) + > a b

Do đó

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 9 2 1 2 2 9 2 2 1

2 9 4 2 1 4 2 1

2 2 2 1 2 4(2 1) 4 4

2 0 2 0 8 7 8 0 8 7 7

+ + − − + = ⇔ + + = + − +

⇔ + + = + − + + − +

≥−  ⇔ − + = + ⇔ − + = + +  ≥−  =   ≥−  =   ⇔ ⇔ ⇔   = − =  =   

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

Vậy 8 0; 7   =     S .