Đề thi olympic môn Toán lớp 10 năm 2020 - 2021 tỉnh Quảng Nam có đáp án chi tiết - Lần 1

www.thuvienhoclieu.com

Thuvienhoclieu.Com Page 1

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3

LẦN THỨ NHẤT Môn thi: TOÁN 10 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (5,0 điểm). a) Giải phương trình 3x 4 x 2 x 3     .

b) Giải hệ phương trình  

 

2 2

2 2 3x 2y 1 4y 4y 21

3x 2y 1 x 20.

     

   

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Tìm tập xác định của hàm số : 3 2 y x 3x 4    .

b) Cho hai hàm số 2 y x 2x 3    và y 4x m   (m là tham số). Tìm m để đồ thị các hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau. Câu 3 (3,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

      3 3 3

3 2 2 2 2 2 2 3 3 2x 3y z 2y 3z x 2z 3x y P . 3 z x 1 3 x y 1 3 y z 1

           

Câu 4 (2,0 điểm). Trên đường tròn có bán kính bằng 1 ta lấy 17 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 17 điểm

đó có ít nhất ba điểm tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

20 .

Câu 5 (4,0 điểm). a) Cho tam giác ABC vuông tại B có 0 A 60  . Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm

thỏa mãn 2 AN AC 5  . Chứng minh AM  BN.

b) Cho hai đường tròn (O1; r) và (O2; R) tiếp xúc trong tại A ( r < R ). Qua điểm A vẽ cát tuyến cắt (O1) tại B và cắt (O2) tại C (B; C khác A). Một đường tròn (T) thay đổi luôn qua B và C cắt (O2) ở D (D khác C) và cắt (O1) ở E (E khác B). Gọi M là giao điểm của CD và BE. Chứng minh điểm M luôn di động trên một đường thẳng cố định. Câu 6 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) có đường chéo AC là đường kính và C(4; –2), đường chéo BD có trung điểm là M(3 ; –1). Một đường thẳng qua D và điểm E(–1; –3) sao cho DE song song BC. Biết đường thẳng AB đi qua F(1 ; 3). Tìm tọa độ các điểm A; B; D.

---------------Hết--------------

www.thuvienhoclieu.com

Thuvienhoclieu.Com Page 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu 1

5,0

Giải phương trình: 3x 4 x 2 x 3      (1) 2,0 ĐK: x  4/3 (*).

Khi đó: (1)  2x 6 x 3 3x 4 x 2      



x 3 (thoa (*))

3x 4 x 2 2 (2)

       

(2)  (3x 4)(x 2) 3 2x      x2 – 14x + 17 = 0 và x ≤ 3/2  x 7 4 2   (thỏa (*)). Vậy (1) có 2 nghiệm: x = 3 và x 7 4 2   .

0,25

0,5

0,5

0.25 0,25 0,25

b) Giải hệ phương trình  

 

2 2

2 2 3x 2y 1 4y 4y 21

3x 2y 1 x 20.

     

   

3,0

 

 

2 2

2 2 3x 2y 1 4y 4y 21

3x 2y 1 x 20

     

   

   

 

2 2

2 2 3x 2y 1 2y 1 20

3x 2y 1 x 20

      

   

(I)

Đặt t = 2y – 1 thì hệ (I) trở thành:

2 2

2 2 3x t t 20 (1)

3xt x 20 (2)

   

  

Nếu (x ; t) là nghiệm của hệ trên thì x > 0 và t > 0. Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 2 2 3xt(x t) t x    (x t)(3xt x t) 0 (1)      x t   (vì x > 0, t > 0 nên 3xt + x+t > 0) Thay t = x vào (1) ta được: 3x3 = x2 + 20. 3 2 2 3x x 20 0 (x 2)(3x 5x 10) 0           x = 2

khi đó x = 2  2y – 1 = 2  3 y 2 

Vậy, hệ đã cho có nghiệm   3 x;y 2; 2      

0.5

0.25

0.25

0.5 0,25 0,25

0.25 0,25

0.25

0.25