Đề thi năng khiếu lần 1 môn Toán lớp 10 năm 2020 - 2021 THPT chuyên Nguyễn Trãi có đáp án chi tiết

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

NGUYỄN TRÃI

ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN I- KHỐI 10

NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: 2 9 1 18 2 2 x x    .

Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

3 3 2

3 3 2 3 2 3 2 y x x x x y y y

        

Câu 3: (1 điểm) Cho các số dương , , a b c thỏa mãn 2 3 abc  . CMR:

3 3 3 ab bc ca a b c a b b c c a a b c         

Câu 4: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x sao cho 2 1 1 2 2 x x   là số chính phương.

Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Đường thẳng AO cắt BC tại M, cắt (O) tại K. Gọi D là một điểm thuộc đoạn BC. Lấy P và Q thuộc đoạn AB, AC sao cho DP // AC và DQ // AB. Lấy I là trung điểm BD, J là trung điểm CD.

a) CMR: BI = MJ và MJ IP MK IJ  .

b) CMR: KD PQ  .

c) Cho KD cắt (O) tại E. CMR: AQPE là hình thang cân.

Câu 6: (1 điểm) Cho bảng vuông 4 4 . Ta điền các số 1; 2; 3; 4 vào bảng sao cho mỗi ô một số và không có hàng hoặc cột nào có 2 số giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách điền số như vậy?

Hướng dẫn giải:

Câu 1: a) ĐKXĐ: 1 3 x 

Khi 1 3 x  thì 18 2 6 2 2 x     và 2 9 1 0 x 

Do đó VT 2 . Dấu “=” xảy ra khi 1 3 x 

Câu 2: Trừ 2 vế ta được: 3 3 3 3 2 2 3( ) 2( ) y x x y x y x y       

3 3 2 2 2( ) 3( ) 2( ) 0 x y x y x y       2 2 ( )(2 2 2 3 3 2) 0 x y x xy y x y        

Có: 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 2 ( 1) 0 2 2 x xy y x y x y x x y y              

Do đó x = y và: 3 3 2 3 2 2 x x x x x      hoặc 2 3 x  .

Vậy 2 2 ( ; ) (0;0);( ; ) 3 3 x y 

Câu 3:

VT = 1 1 1 ( ) abc ab ac bc ba ca cb      2 9 3 2( ) ab bc ca    3 ab bc ca   

Ta cần CM: 3 3 3 3( ) ( )( ) a b c a b c ab bc ca       

Lại có: 3 3 3 2 2 2 2 ( )( ) ( ) a b c a b c a b c       

Mà: 2 2 2 2 3( ) ( ) a b c a b c      và 2 2 2 a b c ab bc ca      nên ta có đpcm.

Dấu “=” xảy ra khi: 3 2

3 a b c   

Câu 4: Xét phương trình: 2 1 2 1 2 2 x x y     1 2 (2 1) ( 1)( 1) x x y y      

- Nếu x = 0 thì: 2 y  hoặc 2 y 

- Nếu x > 0 thì y lẻ, đặt y = 2k + 1 ta được: 2 1 2 (2 1) ( 1) x x k k     2 x  

Do (k, k+1) = 1 nên 2 2x k  hoặc 2 1 2x k  

TH1: 2 2x k m   thì 1 2 1 ( 1) x m k   = 2 2 2x m m  

Hay: 2 2 1 2 ( 8) 0 x m m    

m = 0 loại, m = 1 loại, m = 2 loại, m 3  loại.

TH2: 2 1 2x k m   thì 1 2 2 1 ( 2 1) x x mk m m      2 2 2x m m   

Hay: 2 2 2 ( 8) 1 0 x m m    . Từ đó chặn được: 3 4 m  . Do đó m = 3.

Vậy x = 4.

Câu 5:

a) Vì I, J là trung điểm BD, CD nên JI = 1

2 BC = BM nên BI = MJ.

Có: 2 . . . MJ BI BI MA BM PI MK MK MK MA BM    IP IP BM IJ  

b) Có: 2 2 2 2 2 2 , KP KB BP KQ KC CQ     .

Do đó: 2 2 2 2 2 2 KP KQ BP CQ DP DQ     

Áp dụng định lí 4 điểm ta có: KD PQ 

c) Vì K là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên ED là phân giác BEC .

Do đó: EB BD BP EC CD CQ   nên ∆??? ~∆??? (?. ?. ?)

Nên BEP CEQ PEQ BEC    BAC 

Lại có: DK // PQ và DK // AE nên kết hợp điều trên ta có AQPE là hình thang cân.

Câu 6: Vì các hàng và các cột có thể chuyển vị trí cho nhau nên ta đếm 1 trường hợp sau đó đếm số cách có thể đổi vị trí.

Ta xét trường hợp các số 1 ghi ở đường chéo chính.

Tiếp theo là các số 2, 3, 4 ở hàng 1 theo đúng thứ tự.

+ TH1: số 2 ghi ở ô đầu tiên của hàng 2 thì 2 ô còn lại là 4;3

Làm tiếp ta thấy trường hợp này có 2 cách.

+ TH2: Số 2 ghi ở ô thứ 3 của hàng thứ 2: Làm tiếp ta thấy có 1 cách

+ TH3: Số 2 ghi ở ô thứ 4 của hàng thứ 2: Tương tự có 1 cách.

Như vậy, trường hợp các số 1 ở đường chéo chính và hàng 1 ghi số 1; 2; 3; 4 có 4 cách. Ta có thể đổi vị trí 3 số 2; 3; 4 được 3! = 6 cách.

Do đó, trường hợp các số 1 ghi ở đường chéo chính ta có: 4.6 = 24 cách.

Các cách điền số khác có thể thu được bằng cách đổi vị trí các hàng của bảng vuông, có 4 hàng nên số hoán vị đổi các hàng là: 4!

Vậy số cách điền số thỏa mãn mà: 4!.24 = 576.