Bài tập bất đẳng thức và bất phương trình có lời giải chi tiết Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh

4. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH

Baøi 01

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' '' a b < hoặc '' '' a b > được gọi là bất đẳng thức. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề '' '' a b c d < ⇒ < đúng thì ta nói bất đẳng thức c d < là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a b < và cũng viết là . a b c d < ⇒ < Nếu bất đẳng thức a b < là hệ quả của bất đẳng thức c d < và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là . a b c d < ⇔ < 3. Tính chất của bất đẳng thức Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a b < ta chỉ cần chứng minh 0. a b −< Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau Tính chất Điều kiện Nội dung Tên gọi

a b a c b c < ⇔ + < + Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số 0 c > a b ac bc < ⇔ < 0 c < a b ac bc < ⇔ >

Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số

a b < và c d < a c b d ⇒ + < + Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

0, 0 a c > > a b < và c d < ac bd ⇒ < Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều n ∗ ∈ℕ 2 1 2 1 n n a b a b + + < ⇔ <

n ∗ ∈ℕ và 0 a >

2 2 n n a b a b < ⇔ <

Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa 0 a > a b a b < ⇔ <

3 3 a b a b < ⇔ <

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b ≤ hoặc . a b ≥ Các mệnh đề dạng này cũng được gọi

là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a b < hoặc a b > là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. II – BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG V7 TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI) 1. Bất đẳng thức Cô-si

CHUÛ ÑEÀ BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

( ) , , 0. 1 2 a b ab a b + ≤ ∀ ≥

Đẳng thức 2 a b ab + = xảy ra khi và chỉ khi . a b =

2. Các hệ quả

Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

1 2, 0. a a a + ≥ ∀>

Hệ quả 2 Nếu ,x y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi . x y =

Hệ quả 3 Nếu ,x y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x y + nhỏ nhất khi và chỉ khi . x y =

III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Điều kiện Nội dung

0, , x x x x x ≥ ≥ ≥−

x a a x a ≤ ⇔−≤ ≤ 0 a >

x a x a ≥ ⇔ ≤− hoặc x a ≥

a b a b a b − ≤ + ≤ +

CÂU HỎI V7 B7I TẬP TRẮC NGHIỆM 10

NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM

Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

A. . a b a c b d c d

<  ⇒ −< − < 

B. . a b a c b d c d

>  ⇒ −> − > 

C. . a b a d b c c d

>  ⇒ − > − > 

D. 0 . 0

a b a c b d c d

> >  ⇒ −> − > > 

Lời giải. Ta có . a b a b a b a d b c c d c d d c

   > > >       ⇔ ⇔ ⇒ − > −       > −<− − >−      

Chọn C.

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?

A. . 2

a b b c a a c

>  +  ⇒ > > 

B. . a b a c b a a c

>  ⇒ −> − > 