Tổng hợp 60 bài tập có đáp án chi tiết về hệ phương trình

http://www.math.vn

TỔNG HỢP 60 BÀI HỆPHƯƠNG TRÌNH CỦA MATH.VN

Bài 1.

Giải hệphương trình:

 

 x3 −y3 = 35 (1)

2x2 +3y2 = 4x−9y (2)

Giải Lấy phương trình (1) trừ3 lần phương trình (2) theo vếta được: (x−2)3 = (3+y)3 ⇒x = y+5 (3)

Thế(3) vào phương trình (2) của hệta được: y2 +5y+6 = 0 ⇔

" y = −2 ⇒x = 3 y = −3 ⇒x = 2 Đáp số: (3;−2),(2;−3) là nghiệm của hệ. Bài 2.

Giải hệphương trình:

 

 x3 +y3 = 9 (1)

x2 +2y2 = x+4y (2)

Giải Lấy phương trình (1) trừ3 lần phương trình (2) theo vếta được: (x−1)3 = (2−y)3 ⇒x = 3−y (3)

Thế(3) vào phương trình (2) của hệta được: y2 −3y+2 = 0 ⇔

" y = 1 ⇒x = 2 y = 2 ⇒x = 1 Đáp số: (2;1),(1;2) là nghiệm của hệ. Bài 3.

Giải hệphương trình:

 

 x3 +y3 = 91 (1)

4x2 +3y2 = 16x+9y (2)

Giải Lấy phương trình (1) trừ3 lần phương trình (2) theo vếta được: (x−4)3 = (3−y)3 ⇒x = 7−y (3)

Thế(3) vào phương trình (2) của hệta được: y2 −7y+12 = 0 ⇔

" y = 4 ⇒x = 3 y = 3 ⇒x = 4 Đáp số: (3;4),(4;3) là nghiệm của hệ. Bài 4.

Giải hệphương trình:

  

 

x2 +y2 = 1

5 (1)

4x2 +3x−57

25 = −y(3x+1) (2)

Giải Lấy phương trình (1) nhân với 25 cộng theo với với phương trình (2) nhân với 50 rồi nhóm lại ta được:

25(3x+y)2 +50(3x+y)−119 = 0 ⇔3x+y = 7

5;3x+y = −17

5 .

Trường hợp 1:

  

 

x2 +y2 = 1

5 y = 7

5 −3x Thếta được: x = 2

5 ⇒y = 1

5;x = 11

25 ⇒y = 2

25

Trường hợp 2:

  

 

x2 +y2 = 1

5 y = −17

5 −3x vô nghiệm.

Vậy 2

5; 1

5

; 11

25; 2

25

là nghiệm của hệ.

Bài 5.

1

http://www.math.vn

Giải hệphương trình:

( x3 +3xy2 = −49 (1)

x2 −8xy+y2 = 8y−17x (2)

Giải Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) nhân với 3 được:

x3+3x2+(3y2−24y+51)x+3y2−24y+49 = 0 ⇔(x+1) (x+1)2 +3(y−4)2 = 0 ⇔

" x = −1

x = −1, y = 4 Lần lượt thếvào phương trình (1) của hệta được (−1;4),(−1;−4) là nghiệm của hệ. Bài 6.

Giải hệphương trình:

( 6x2y+2y3 +35 = 0 (1)

5x2 +5y2 +2xy+5x+13y = 0 (2) .

Giải Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) theo vếta được: (6y+15)x2 +3(2y+5)x+2y3 +15y2 +39y+35 = 0

⇔(2y+5)

3 x+ 1

2

2 + y+ 5

2

2!

= 0 ⇔



 y = −5

2

x = −1

2, y = −5

2

.

Lần lượt thếvào phương trình (1) ta được: 1

2;−5

2

; −1

2;−5

2

là nghiệm của hệ.

Bài 7.

Giải hệphương trình:

 

 x2 +y2 = xy+x+y

x2 −y2 = 3

Giải

Chú ý rằng: x2 −xy+y2 = 1

4 3(x−y)2 +(x+y)2

nên ta đặt

 

 a = x+y

b = x−y thì được hệmới:

 

 3a2 +b2 = 4b (1)

ab = 3 (2) .

Đem thếa = 3

b từphương trình (2) vào phương trình (1) rồi giải tìm được b = 3 ⇒a = 1 Từđó tìm lại được: x = 2;y = 1 là nghiệm của hệ. Bài 7.1

Giải hệphương trình:

 



√

x2 +2x+6 = y+1

x2 +xy+y2 = 7

Giải ĐK: y ≥−1 Hệđã cho tương đương với:  



x2 +2x+6 = y2 +2y+1 1 4 3(x+y)2 +(x−y)2 = 7 ⇔

 

 (x−y)(x+y+2) = −5

3(x+y)2 +(x−y)2 = 28 (∗∗)

Đặt

 

 a = x+y

b = x−y khi đó (∗∗) trởthành

 

 b(a+2) = −5

3a2 +b2 = 28 ⇔

 

 a = −1

b = −5 hay

 

 a = 3

b = −1

Giải hệtrên ta thu được nghiệm:

 

 x = −3

y = 2 hay

 

 x = 1

y = 2 Kết luận: Hệphương trình đã cho có tập hợp nghiệm là: {(−3;2),(1;2)} Bài 8.

2