Bài tập về bất đẳng thức và bài toán cực trị trong luyện thi đại học môn toán

Khóa Luyện Giải Bài Tập Môn Toán

T12 001 - Cho x,y là hai số thực thoả

xy 1. Chứng minh rằng

xy y x +  + + + 1

2 1

1 1

1

2 2

T12 003 - Cho   , , 0;1 x y z . Tìm giá tr

biểu thức

( ) 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 P xyz x y z æ ö = + + + ç ÷ + + + è ø

.

T12 005 - Cho a,b,c là các số thực chứng

( ) ( ) ( ) (

(

2 2 2 3 4

3

a b c b c c a

ab

+ + - - + -

 +

T12 007 - Cho x,y,z là các số thực không

x3 + y3 + z3 3xyz .

T12 009 - Cho x,y,z không âm chứng min

x3 + y3 + z3 - 3xyz 2 y + z

2 - x æ èç ö ø÷

3

.

T12 011 – Cho a,b,c là các số thực dương kiện 0 1 a b c  £ £ £ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( ) ( ) P a b c a b = + - +

T12 013 - Chứng minh với mọi số thực x, thực k ta có

k

2 + x + k

2 + y k + k

2 + x + y .

T12 015 – Cho a,b,c là các số thực không

điều kiện: 3 1 1 1 a b c bc ca ab + + = + + +

.

Chứng minh rằng:

3 1 1 1 4 a b c a bc b ca c ab + +  + + + + + +

CHUY

ả mãn điều kiện

.

T12 002 - Cho a,b,c là các số thự chứng minh

3 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1 a b c ab + +  + + + +

rị lớn nhất của

T12 004 – Chứng minh rằng với

1+ x2 ( ) 1+ y2 ( ) 

3 1(

minh rằng

( ) )

)

2 a b

bc ca

+ -

+ +

T12 006 - Cho , , x y z là các số th

2 2 2 1 x y z + + = . Chứng minh rằng:

a) 1 1 2 xy yz zx - £ + + £ ;

b) xy + yz + 2xz ( )

2 -

x + y + z ( âm chứng minh T12 008 - Cho x,y,z không âm c

x3 + y3 + z3

3 xyz + 3

4 x - y ( )(

nh T12 010 - Cho x,y,z là các số thự

2 2 2 2

2 3( )( )(

( ) (

x xy y y yz z z

x y z xy

+ + + +

 + +

g thỏa mãn điều

c .

T12 012 - Cho x,y,z là các số thự điều kiện x y z chứng minh

a) xy + yz + zx

y2 + yz + z2 x + z

y + z

.

b) xy + yz + zx

x

2 + xy + y

2  x + ( x + z ( )

2 + x + ( ,y cùng dấu và số T12 014 – Chứng minh rằng với

không âm thỏa mãn 1 x y + ta

2 2 4 4 2 x x y y + + + + + £ +

âm thoả mãn T12 016 - Cho a,b,c là các số thự bằng 1 chứng minh

1+ a2

1+ b2 + 1+ b2

1+ c2 + 1

1

YÊN ĐỀ T12- BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

ực không nhỏ hơn 1

c

.

i mọi số thực x,y ta có 1+ x + y ( )

2)

4

.

hực thỏa mãn điều kiện

8

z)

2 - xy - yz + 2

-3.

chứng minh:

y - z ( ) z - x ( )

ực dương chứng minh

2 2

2 )

)

z zx x

y yz zx

+ +

+ +

ực không âm thoả mãn h rằng

+ z) y + z ( ) + z) y + z ( )+ y + z ( )

2

i x,y là hai số thực

luôn có

( )

2 4 x y x y + + + + +

ực không âm có tổng

+ c2

+ a2 £ 7

2

.

Khóa Luyện Giải Bài Tập Môn Toán

Hotline: 0964.946.876 Page2

T12 017 - Chứng minh với mọi số thực a,b,c ta có

a + b + c + a + b + c a + b + b + c + c + a .

T12 018 - Cho x,y,z là các số thực đôi một không đồng thời bằng 0 chứng minh

( )( )( ) ( )( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 1 x y y z z x

x y y z z x

- - - - £ £ + + +

.

T12 019 - Cho a,b,c là các số thực không âm chứng minh

3 abc 3 + a - b + b - c + c - a a + b + c .

T12 020 - Cho x,y,z là các số thực chứng minh

x - y + y - z + z - x 2 x

2 + y

2 + z

2 - xy - yz - zx

T12 021 - Chứng minh rằng với mọi a,b dương ta có

a2b2 a2 + b2 - 2 ( ) a + b ( ) ab -1 ( ).

T12 022 - Chứng minh rằng với mọi số thực x,y thoả mãn điều kiện x + y -1, xy £ 2 ta có

x3 + y3 -7.

T12 023 - Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng

a + b + c + 5abc

3 2.

T12 024 - Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện

x,y -1;x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x2

x

2 + y

2 + 4 xy +1 ( ) + y2 -1 z

2 - 4z + 5

.

T12 025 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

0 x z y x z y y z z x x y - - - + +  + + +

.

T12 026 - Cho a,b,c là các số thực thuộc khoảng ( ) 0;1

. Chứng minh rằng

( )( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 a a b b c c a bc b ca c ab - - -  - - -

T12 027 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 a b c + + = . Chứng minh rằng: ( )( )( ) 2 2 2 8a b c a bc b ca c ab  - - - .

T12 028 - Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z £ £ . Chứng minh rằng

( ) ( ) 1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z æ ö æ ö + + + £ + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø

T12 029 - Cho x,y,z là các số …