Bài tập có đáp án chi tiết về sử dụng tính lồi lõm của đồ thị hàm số vào chứng minh bất đẳng thức môn tóan

Thạc sĩ toán giải tích: Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng – Gia lộc – Hải dương

Trung tâm luyện thi đại học chất lượng cao Đoàn Thượng Tel: 0985650367 1

SỬ DỤNG TÍNH LỒI, LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh bất đẳng thức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong các

kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức,

học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Bài viết này nhằm đưa ra một kĩ

thuật đơn giản nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất

đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Đó là sử dụng

tính lồi, lõm của đồ thị hàm số.

I. Cơ sở lí thuyết

1. Khái niệm về tính lồi, lõm của đồ thị hàm số Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b . a) Đồ thị của hàm số được gọi là lồi trên khoảng ( ; ) a b nếu tại mọi điểm M( ; ( )), ( ; ) c f c c a b ∈ tiếp tuyến của đồ thị hàm số nằm phía trên của đồ thị hàm số. b) Đồ thị của hàm số được gọi là lõm trên khoảng ( ; ) a b nếu tại mọi điểm M( ; ( )), ( ; ) c f c c a b ∈ tiếp tuyến của đồ thị hàm số nằm phía dưới của đồ thị hàm số. 2. Dấu hiệu lồi, lõm của đồ thị hàm số Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng ( ; ) a b . a) Nếu ''( ) 0 f x < với mọi ( ; ) x a b ∈ thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng ( ; ) a b . b) Nếu ''( ) 0 f x > với mọi ( ; ) x a b ∈ thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng ( ; ) a b . 3. Nhận xét a) Cho các hàm số ( ) y f x = và ( ) y g x = xác định trên khoảng ( ; ) a b và có đồ thị lần lượt là (C) và (G). Khi đó (C) nằm trên (G) ( ) ( ), ( ; ) f x g x x a b ⇔ ≥ ∀∈ b) Nếu đồ thị hàm số ( ) y f x = lồi trên khoảng ( ; ) a b và '( )( ) ( ) y f c x c f c = − + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( ; ( )), ( ; ) c f c c a b ∈ thì ( ) '( )( ) ( ), ( ; ) f x f c x c f c x a b ≤ − + ∀∈ (1) c) Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức ngược lại. Bất đẳng thức (1) cho phép ta đánh giá biểu thức ( ) f x thông qua biểu thức bậc nhất. Hơn nữa, ta có thể chọn c sao cho dấu đẳng thức xảy ra theo đúng yêu cầu của bài toán.

Thạc sĩ toán giải tích: Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng – Gia lộc – Hải dương

Trung tâm luyện thi đại học chất lượng cao Đoàn Thượng Tel: 0985650367 2

II. Bài tập áp dụng

Bài 1 (BĐT Cô - si). Cho a1, a2, …, an là các số không âm. Chứng minh rằng

1 2 1 2 ... ... n n

n a a a a a a n + + + ≥

Chứng minh. Nếu có một số ai = 0 (i = 1, 2, …, n) thì bđt là hiển nhiên. Bây giờ ta xét

trường hợp ai > 0, ∀i ∈ {1, 2, …, n}. Chia hai vế cho 1 2 ... n a a a + + + ta được

1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 . ... ... ... ... n

n n n

a a a n a a a a a a a a a ≥ + + + + + + + + +

Đặt

1 2

, {1, 2, ..., n} ...

i i n

a x i a a a = ∈ + + + thì xi > 0 thoả mãn 1 2 ... 1 n x x x + + + = và bđt

trở thành 1 2

1 ... n n x x x n ≤ hay 1 2

1 ln ln ... ln ln n x x x n n + + + ≤

Xét hàm số ( ) ln , 0 y f x x x = = > . Ta có 2 1 1 '( ) , ''( ) 0, 0 f x f x x x x = = − < ∀> suy ra đồ

thị hàm số lồi trên khoảng (0;+ ) ∞.

Tiếp tuyến của đths tại điểm 1 1 ;ln n n      

có phương trình là 1 1 ln y nx n = −+ suy ra

1 ln 1 ln , (0; ) x nx x n ≤ −+ ∀∈ +∞ (1)

Áp dụng bđt (1) cho x1, x2, …, xn và cộng vế lại ta được

1 2 1 2

1 ln ln ... ln ( ... ) ln n n x x x n x x x n n n + + + ≤ + + + − +

Kết hợp với 1 2 ... 1 n x x x + + + = ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi 1 2

1 ... n x x x n = = = = hay 1 2 ... n a a a = = = .

Bài 2 (BĐT Jenxen) Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( ; ) a b . a) Nếu ''( ) 0, ( ; ) f x x a b > ∀∈ thì 1 2 , ,..., ( ; ) n x x x a b ∀ ∈ và 1 2 , ,..., [0;1] n α α α ∀ ∈ thoả mãn 1 2 1 n α α α + + + = L ta có

1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n f x x x f x f x f x α α α α α α + + + ≤ + + + L L (1)