Xem trước nội dung
1
Phần 1: CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ: Một số dạng toán thường gặp: ▼ Dạng 1: đưa về dạng bình phương I. Phương pháp giảỉ: Đưa về dạng A2≥0, hoặc A2+ c≥ c (vớI c là hằng số) dấu bằng xảy ra khi A=0 II. Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của P ( ) 1 x x = −
Lời giải:
( )
2 1 1 1 1 2 4 4 P x x x x x = − = −+ = − − + ≤
Đẳng thức xảy ra khi 1 2 x = và 1 4 x =
Do đó giá trị lớn nhất của P là 1
4 đạt khi 1 4 x =
Ví dụ 2:
Tìm giá trị của x để biểu thức 2 1 2 2 5 x x − + có giá trị lớn nhất
Lời giải: Ta có:
( )
2 2
2
2 2 5 2 3 3
1 1 3 2 2 5
x x x
x x
− + = − + ≥
⇒ ≤ − +
Do đó, khi 2 x = thì bỉêu thức 2 1 2 2 5 x x − + có giá trị lớn nhất là 1
3
V í d ụ 3: VớI x,y không âm; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 2 2004,5 P x xy y x = − + − + Lời giải: Đặt , x a y b = = vớI , 0 a b ≥ ta có:
2
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 3 2 2004,5
2 1 3 2004,5
2 1 1 2 2 2003,5
1 1 1 2 2003,5 4 2
1 1 2 2003 2003 2
P a ab b a
a b a b
a b a b b b
a b b b
a b b
= − + − +
= − + + +
= − + + + + − +
= − − + − + + −
= − − + − + ≥
Vì ( ) 2 1 0 a b − − ≥ và
2 1 0 , 2 b a b − ≥ ∀
1 a b = + 3 2 a =
2003 P = ⇔ ⇔
1 2 b = 1 2 b =
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 2003 khi 3 2 x = và 1 2 y = hay 9 4 x = và 1 4 y =
III. Bài tập tự giải: 1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 5 4 2 P x y xy x = − − − + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của ( )
2 2 , 2 6 12 45 f x y x xy y x = − + − +
3) Cho hai số x,y thoả mãn đẳng thức: 2 2 2 1 8 4 4 x y x + + =
Xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất 4) Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x– 2y + 1)2 + (2x + ay +5)2
Hướng dẫn giảI và đáp số: 1)Max P = 3 khi (x,y) = (1, -2) 2) ( ) ( ) 2 2 , 6 5 9 9 f x y x y y = − − + + ≥
3) Thêm 2 4 4 xy x + vào 2 vế
Kết quả: xy đạt GTNN là 1 2 − khi 1 2 x = ± 1 y = ±
4) 0 A ≥ khi a ≠ -4, 9 5 A = khi a = -4
3
▼ Dạng 2: sử dụng miền giá trị của hàm số I. Phương pháp giảỉ: Cho y = f(x) xác định trên D
( ) 0y f D ∈ ⇔phương trình ( ) 0y f x = có nghiệm 0 a y b ⇔ ≤ ≤ Khi đó min y = a, max y = b II. Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1:
Tìm Max và Min của: 2 1 x y x = +
Lời giải: Tập xác định D = R ⇒ 0y là một giá trị của hàm số
⇔phương trình 0 2 1 x y x = + có 1 nghiệm x∈R
⇔phương trình 2 0 0 x y y x + = có nghiệm x∈R ⇔phương trình 2 0 0 0 x y x y − + = có nghiệm x∈R ⇔ 0 ∆≥ ⇔ 2 1 4 0 y − ≥ ⇔ 2 4 y ≤
⇔ 1 1 2 2 y − ≤ ≤
Vậy Min y = 1 2 − , Max y = 1
2
Ví dụ 2:
Xác đinh các tham số a, b sao cho hàm số 2 ax
1 b y x
+ = + đạt giá trị lớn nhất bằng
4, giá trị nhỏ nhất bằng –1 Lời giải: Tập xác định D = R
0y là một giá trị của hàm số ⇔phương trình 0 2 ax+b
1 y x = + có nghiệm x∈R
⇔phương trình 2 0 0 ax 0 y x y b − + − = có nghiệm x∈R (1)
• Nếu 0 0 y = thì (1) ⇔ ax = -b có nghiệm a = b = 0 ⇔ a ≠ 0 • Nếu 0 0 y ≠ thì (1) có nghiệm ⇔ 0 ∆≥ ⇔ 2 0 0 4( ) 0 a y b y − − ≥
4
⇔ 2 2 0 0 4 4 0 y by a − + + ≥ Theo đề 0y đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là –1 nên phương trình
2 2 0 0 4 4 y by a − + + phảI có nghiệm là –1 và 4 (do -1.4 = -4 < 0)
2
4 4
a − = − 4 a = ±
Theo định lý Viet ta có : ⇔ 3 b = 3 b = Vậy vớI a = 4, b = 3 hoặc a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4 Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
3 4
2 12 ( ) 36 x x a y x − = +
Lời giải: Hàm số đã cho xác định khi ( ) 0 x x a − ≥
Đặt 2 12 ( ) 36 x x a z x − = +
(1) thì 4 3 y z = , 0 z ≥
0z là một giá trị của hàm số (1) ⇔ phương trình 0 2 12 ( ) 36 x x a z x
− = + có nghiệm
hay phương trình 2 0 0 (12 ) 12ax 36 0 z x z − − − = có nghiệm (2) • 0z =12 : (2) ⇔ax = -36 có nghiệm khi 0 a ≠ • 0 12 z ≠ : (2) có nghiệm ⇔ 2 0 0 36 36 (12 ) 0 a z z ∆= + − ≥
2 2 0 0
2 2 0 0
2 2 0
12 0
12 0
6 36 6 36
a z z
z z a
a z a
⇔ + − ≥
⇔ − − ≤
⇔ − + ≤ ≤ + +
Vì 0 0 z ≥ nên 2 0 0 6 36 z a ≤ ≤ + +
Vậy max 2 6 36 z a = + + ; max 2 3 4 (6 36) y a = + + III. Bài tập tự giải:
1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
