Bài tập có đáp án chi tiết về khử dạng vô định môn toán lớp 11 của mathvn

Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số

1

Giới hạn dạng vô định là những giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng

cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và các giới hạn cơ bản trình bày

trong Sách giáo khoa. Do đó muốn tính giới hạn dạng vô định của hàm số, ta

phải tìm cách khử các dạng vô định để biến đổi thành dạng xác định của giới

hạn

Trong chƣơng trình toán THPT, các dạng vô định thƣờng gặp là :

0, , , 0. , 1 0

   

Sau đây là nội dung từng dạng cụ thể.

I. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0

Giới hạn dạng vô định 0 0 là một trong những giới hạn thƣờng gặp nhất

đối với bài toán tính giới hạn của hàm số. Để tính các giới hạn dạng này, phƣơng pháp chung là sử dụng các phép biến đổi ( phân tích đa thức thành nhân tử, nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, thêm bớt, …) để khử các thành phần có giới hạn bằng 0, đƣa về tính giới hạn xác định. Chính các thành phần có giới hạn bằng 0 này gây nên dạng vô định.

Để tính giới hạn dạng vô định 0 0 , trƣớc hết giáo viên cần rèn luyện cho

học sinh kỹ năng nhận dạng.

1. Nhận dạng giới hạn vô định 0 0

Để giải bài toán tìm giới hạn của hàm số, học sinh cần xác định giới hạn cần tìm thuộc dạng xác định hay vô định. Nếu giới hạn đó là vô định thì phải xét xem nó thuộc dạng vô định nào để có phƣơng pháp giải thích hợp. Bởi vậy việc rèn luyện kỹ năng nhận dạng cho học sinh có quan trọng, giúp học sinh định hƣớng đƣợc cách giải, tránh những sai xót có thể mắc phải.

Đối với dạng vô định 0 0 , việc nhận dạng không khó khăn lắm vì học sinh

thƣờng gặp giới hạn :

0 x x f(x) lim g(x)  mà 0 0 x x x x lim f(x) = lim g(x) = 0  

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số

2

Thực tế học sinh hay gặp trƣờng hợp

0 x x f(x) lim g(x)  mà 0 0 f(x ) = (x ) = 0 g . Ngoài ra

trong một số bài toán học sinh phải thực hiện các phép biến đổi để chuyển về

dạng vô định 0 0 , sau đó mới áp dụng các phƣơng pháp khử các thành phần có

giới hạn bằng 0.

Khi giảng dạy, giáo viên nên đƣa ra một số bài toán để nhấn mạnh cho học sinh việc nhận dạng nhƣ :

0 x x f(x) lim g(x)  mà 0 x x lim f(x) 0   hoặc 0 x x lim g(x) 0  

Tránh tình trạng học sinh không nhận dạng mà áp dụng ngay phƣơng pháp giải.

Ví dụ áp dụng :

(Yêu cầu chung của những bài tập là : “ Tính các giới hạn sau”).

Ví dụ 1 : 1 2 x 2 x - 2 L = lim x +1 

Bài giải :

1 2 2 x 2 = x - 2 2 - 2 L = lim 0 x +1 2 1   

Ví dụ 2 : 2 2 x 1 - x + 2 L = lim x 1 

Bài giải :

2 2 x 1 - x + 2 L = lim = x 1   vì 1 2 2 1

lim(x+2) = 1+2 = 3 lim(x - 1) = 1 - 1 = 0 x

x





 

Ví dụ 3 : 3 2 x 1 1 3 L = lim x 1 x 1          

Bài giải :

2

2 2 x 1 x 1

x 1 x 1 =

1 3 x 3x +2 L = lim lim 3 x 1 x 1 x 1

(x-1)(x 2) (x-2) 1-2 1 lim lim (x 1)(x+1) (x+1) 1+1 2

 

 

                     

   

 

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số

3

Dạng vô định 0 0 đƣợc nghiên cứu với các loại cụ thể sau :

2. Loại 1 :

0 x x f(x) lim g(x)  mà f(x), g(x) là các đa thức và f(x0) = g(x0) = 0

Phương pháp : Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là (x – x0).

Giả sử : f(x) = (x – x0).f1(x) và g(x) = (x – x0).g1(x). Khi đó :

0 1 1

0 0 0 0 1 1 x x x x x x ) ) (x - x f (x) f (x) f(x) lim lim lim g(x) (x - x g (x) g (x)     

Nếu giới hạn 1

0 1 x x f (x) lim g (x)  vẫn ở dạng vô định 0 0 thì ta lặp lại quá trình khử đến

khi không còn dạng vô định.

Ví dụ áp dụng :

Ví dụ 4 :

2

4 2 x 2 2x - 5x +2 L = lim x +x - 6 

Bài giải :

Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x - 2

2

4 2 x 2 x 2

x 2 =

2x - 5x +2 (x - 2)(2x - 1) L = lim lim (x - 2)(x + 3) x +x - 6 2x - 1 2.2 1 3 lim x + 3 2 3 5

 



 

  

Vậy 4 3 L 5 

Ví dụ 5 :

2

5 x 2 2 x - 3x +2 L = lim - 4x + 4 x 

Bài giải :

2

2 5 x 2 x 2

x 2

2

=

x - 3x +2 (x - 2)(x - 1) L = lim lim (x - 2) - 4x + 4 x - 1 lim x - …