Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 THPT chuyên Hùng Vương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÌNH DƯƠNG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÙNG VƯƠNG

KỲ THI THỬ CHO ĐỘI TUYỂN HSG - VÒNG 1 - LẦN 2

NĂM HỌC 2020 – 2021

Ngày thi thứ nhất

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (5 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 1 ab bc ca abc    . Chứng minh rằng:

2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 9 . (2 1) (2 1) (2 1) 16 a a b b c c a b c         

Câu 2. (5 điểm)

Tìm tất cả các đa thức  P x với hệ số thực sao cho 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P a P b P c P a b c       với mọi bộ số

( ; ; ) a b c thỏa mãn 1 0 ab bc ca    .

Câu 3. (5 điểm)

Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên ( ; ; ) m n k thỏa mãn 3 5 7 m n k   .

Câu 4. (5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O , có trực tâm H. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,

CA, AB. Đường tròn   MNP lần lượt cắt các đường tròn   MCA ,   MAB tại điểm thứ hai là E, F. Giả sử ME,

MF theo thứ tự cắt AC, AB tại K, L.

a) Chứng minh rằng OH vuông góc với KL tại điểm S.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Các điểm Y, Z lần lượt là hình chiếu của B, C lên AC, AB. Gọi X là giao điểm của KZ và LY. Chứng minh rằng A, G, S, X cùng nằm trên một đường tròn.

--------------- HẾT ---------------

https://toanmath.com/

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính.

+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.