Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 THPT chuyên Bến Tre

SỞ GD&ĐT BẾN TRE

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

BẾN TRE

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN CHỌN HỌC SINH DỰ THI

VÀO ĐỘI TUYỂN TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Lưu ý: Học sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy thi riêng.

Câu 1. Giải hệ phương trình

2

2 3

( ) 4(2 ) 15 3

2( ) 10 2 3 2

x y x y y x

y x y x y y x

                     ,x y.

Câu 2. Vé xe buýt có dạng abcdef với , , , , , {0;1;2;...;9} a b c d e f  . Một vé như trên thỏa mãn điều kiện a b c d e f     được gọi là vé hạnh phúc. Tính số vé hạnh phúc.

Câu 3. Cho n là số nguyên dương lẻ và p là một ước nguyên tố lẻ của 3 1 n . Chứng minh 1 p  chia hết cho 3.

Câu 4. Cho hai đường tròn    1 2 , O O cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến của   1 O tại A, B cắt nhau tại O. Gọi

I là điểm trên đường tròn   1 O nhưng ngoài đường tròn   2 O . Các đường thẳng IA, IB cắt đường tròn   2 O lần

lượt tại C, D. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Chứng minh rằng:

a) Các tam giác IAB và IDC đồng dạng với nhau.

b) I, M, O thẳng hàng.

Câu 5. Cho hàm : f    thỏa mãn điều kiện: ( ( ) 2 ( )) ( ) ( ) f f x f y f x y f y     với mọi ,x y (1) .

a) Chứng minh f là đơn ánh.

b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn (1) .

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/