Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 cấp quốc gia - Đề 16

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 29/09/2020

Bài 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số   nx được xác định như sau: 1 7 3 x  , 2 1 2 2 n n n x x x    với mọi * n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số   nx .

b) Tìm         1 1 2 1 2

1 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 n n x x x x x x                   .

Bài 2. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số liên tục : f    sao cho:      8 4 10 2 3 30 f x f x f x x    , x .

Bài 3. (5,0 điểm)

Trên tập hợp các số nguyên không âm, xét phương trình:   2 1 2.3 2 1 y y x x     1 .

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm   ;x y thỏa mãn 1 mà 5 y  .

b) Chứng minh rằng không tồn tại cặp số nguyên không âm   ;x y với 6 y  thỏa mãn phương trình  1 .

Bài 4. (5,0 điểm)

Cho đường tròn   1 C và điểm B thuộc   1 C . Điểm A khác B sao cho đường thẳng AB là tiếp tuyến của   1 C .

Điểm C không thuộc   1 C sao cho đoạn thẳng AC cắt   1 C tại hai điểm phân biệt. Gọi   2 C là đường tròn

tiếp xúc với AC tại C và tiếp xúc với   1 C tại D (điểm B và D ở khác phía so với bờ AC). Gọi I là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác BCD và  là tiếp tuyến chung của   1 C ,   2 C tại D.

a) Chứng minh rằng điểm I cách đều hai đường thẳng AB và .

b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/

Ghi chú:

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.