Tóm tắt các dạng toán và bài tập Nguyên hàm Tích phân Nguyễn Thanh Sơn

Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng Nguyên hàm - tích phân và các ứng dụng a.tính tích phân bằng định nghĩa Ph−ơng pháp:

1. Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), Chúng ta cần chỉ ra đ−ợc hàm số F(x)

sao cho: F’(x) = f(x). • áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp .

• Nếu gặp dạng căn thức đưa về dạng số mũ phân theo công thức: ,( 0)

n m n m x x m = ≠

• Neáu gaëp daïng ( )

n P x

x thực hiện phép chia theo công thức:

1 ,( ); ,( )

m m m n n n n m x x x m n m n x x x

− − = > = < .

• Công thức đổi biến số (loại 2): Tích phân dạng: ( ) ( ) . '( ) f g x g x dx ∫ Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du

( ( )) '( ) ( ) f g x g x dx f u du = ∫ ∫ .

2. Một số dạng cơ bản: 1. Sử dụng công thức cơ bản:

1. Daïng : ñaët u = ax + b ⇒du = adx dx= ( ) ( 1, 0) ax b dx a α α + ≠ ≠ ∫ ⇒ 1 du a

( )

( )

1 ! 1 ( ) 1 ( 1) ax b u ax b dx u du C C a a a

α α α α α α

+ + + + = = + = + + + ∫ ∫

2. Daïng : ñaët ( ) 1 ,( 0, 1) n n ax b x dx a α α − + ≠ ∫ ≠

1 1

1 1 1

1 . .

1 ( ( ) ( 1) ( 1)

n u=ax n n

n n n

b du a n x dx x dx du an u ax b ax b x dx u du C C an na na

α α α α α α

− −

+ + −

+ ⇒ = ⇒ =

+ + = = + = + + ∫ ∫

) +

3. Daïng: ). cos sin ( 1) a xdx α α ≠− ∫ ( Ñaët

1 1 cos sin ) cos sin cos ( 1) u x du xdx x xdx u du x C α α α α

+ − = ⇒ = − ⇒ = − = + + ∫ ∫

). cos ( 1) sin x b xdx α α ≠− ∫ (Ñaët

1 1 sin cos sin 1 du=cos xdx sin x u x xdx u du x α α α α

+ = ⇒ ⇒ = = + + ∫ ∫ C

4. Daïng: 1 ln ( 0) dx ax b C a ax b a = + + ≠ + ∫

Nếu gặp : ( ) P x ax b + với bậc : làm bài toán chia. ( ) 1 P x ≥

GV: Nguyễn Thanh Sơn 1

Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

5. Daïng: 2 cos ( ) dx x a btgx + ∫ Ñaët

2 2 1 1 1 ; l cos cos ( ) 2 dx co s bdx dx du u a btgx du du a btgx C x x b x a btgx b u b = + ⇒ = ⇒ = = = + + + ∫ ∫ n

2. Coâng thöùc:

( ) '( ) ln

u u x u a a u x dx a du C a = = + ∫ ∫

3. Công thức đổi biến số (loại 1):

Tích phaân daïng: ( ) ( ) . '( ) f g x g x dx ∫ Ñaët g(x) = u => g’(x)dx = du

( ( )) '( ) ( ) f g x g x dx f u du = ∫ ∫

4. Coâng thöùc :

2

2

2

1 ). ln .( 0) 2

). ln

du u a a C a u a a u a du b u u k C u k

α − = + ≠ − +

= + + + +

∫

∫

5. Coâng thöùc :

2 2 2 ln 2 2 x x k k x kdx x x k C + + = + + + + ∫

3. Một số dạng th−ờng gặp:

1. Tích phaân daïng: 2 2 2 2 1). (mx+n)dx dx (mx+n)dx 2). 3). 4). dx ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ +

Tuỳ vào mỗi dạng áp dụng các công thức tính tích phân chỉ trong bảng sau:

Tử số bậc nhất Tử số hằng số Mẫu số không căn ln du u C u = + ∫ 2 2 1 ln 2 − = + − + ∫ du u a C u a a u a

Maãu soá coù caên 2 du u C u

= + ∫ 2

2 ln = + + + + ∫ du u u k C u k

Sử dụng hằng đẳng thức:

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) 2 2

2 2

a a x ax x

b b ax bx a x a a

+ = + −

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

GV: Nguyễn Thanh Sơn 2

Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 4. Tích phân của các phân thức hữu tỉ:

3 2 ax b A B C cx dx ex x x m x n + = + + + + − −

Giải dạng này ta có hai cách: − Cách 1: Đồng nhất hai vế: Cho tất cả các hệ số chứa x cùng bậc bằng nhau. − Cách 2: Gán cho x những giá trị bất kỳ. Thường thì ta chọn giá trị đó là nghiệm của mẫu số 5. Tích phân cđa các hàm số l−ỵng giác:

1. Daïng:

cos , , 1). sin , cos n n 1 1 sin cosaxdx= sinaxdx=- , 2). co s a a

nxdx xdx ax C ax C xdx + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Phöông phaùp:

™ n = chaün : haï baëc

2

2

1 cos2 cos 2 1 cos2 sin 2 1 sin cos sin 2 2

x x

x x

x x x

+ ⎧ = ⎪ ⎪ − ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪⎩

™ n leõ: Vieát: 2 1 2 2 cos cos cos (1 sin ) cos p p p xdx x xdx x dx + = = − Ñaët sin cos u x du x = ⇒ = dx 2. Daïng: sin cos m n u ud ∫ u

u

a. m,n cung chẵn: hạ bậc. b. m,n lẻ (một trong hai số lẻ hay cả hai cùng lẻ).

™ Neáu m leû: Ta vieát: thay 1 sin sin sin m m u u − =

1 2 2 2 2 sin 1 cos (1 cos ) sin m va sin

m u u u u

− = − = − u

™ Nếu m, n lẻ: làm như trên cho số mũ nào bé 3. Dạng: hay n tg xdx ∫ cot n g xdx ∫

Chuù yù: 2 2 2 ( ) (1 ) (1 ) cos 2 dx co s dx d tgx tg x dx tg x dx tgx C x x = = + ⇒ = + = + ∫ ∫

™ Töông töï:

2 2 2 …