Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hàm số mũ và logarit của Nguyễn Trung Kiên

CÁC PH NG PHÁP GI I ƯƠ Ả PH NG TRÌNH- B T PH NG TRÌNH- H MŨ- LÔGARIT ƯƠ Ấ ƯƠ Ệ

CH NG I: ƯƠ PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH- B T PH NG TRÌNH- H MŨ ƯƠ Ả ƯƠ Ấ ƯƠ Ệ

BIÊN SO N GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 Ạ Ễ

CH Đ I:PH NG TRÌNH MŨ Ủ Ề ƯƠ BÀI TOÁN 1: S D NG PH NG PHÁP BI N Đ I T NG Đ NG Ử Ụ ƯƠ Ế Ổ ƯƠ ƯƠ I. Ph ng pháp: ươ Ta s d ng phép bi n đ i t ng đ ng sau: ửụ ế ổươ ươ

( ) ( )

( ) ( )

1

0 1 f x g x

a

a a a

f x g x

=   < ≠  = ⇔    =  

ho c ặ

( ) ( ) ( )

0

1 0

a

a f x g x

>    − − =    

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i ph ng trình ả ươ : ( ) ( )

sin 2 3cos 2 2 2 2

x x x x x

− + − = + −

Gi i: Ph ng trình đ c bi n đ i v d ng: ả ươ ượ ế ổ ềạ

( ) ( )

2

2 2

1 2(*) 2 0

1 0(1) 2 1 sin 2 3 cos 0

sin 3 cos 2(2)

x x x

x x x x x x

x x

− < <   + − >    − − = ⇔   + − − − + =     + =  

Gi i (1) ta đ c ả ượ 1,2

1 5 2 x ± = tho mãn đi u ki n (*) ả ề ệ

Gi i (2): ả 1 3 sin cos 1 sin 1 2 2 , 2 2 3 3 2 6 x x x x x k x k k Z π π π π π π   + = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈     Đ nghi m tho mãn đi u ki n (*) ta ph i có: ể ệ ả ề ệ ả 1 1 1 2 2 1 2 0, 6 2 6 2 6 k k k k Z π π π π π π     − < + < ⇔ − − < < − ⇔ = ∈         khi đó ta nh n đ c ậ ượ 3 6 x π =

V y ph ng trình có 3 nghi m phân bi t ậ ươ ệ ệ 1,2 3 1 5 ; 2 6 x x π ± = = .

VD2: Gi i ph ng trình ả ươ : ( ) ( )

2 2 4 3 5 2 2 3 6 9

x x x x x x x

+ − − + − = − +

Gi i: Ph ng trình đ c bi n đ i v d ng: ả ươ ượ ế ổ ềạ ( ) ( ) ( )

2 2 2 4 3 5 2 2 2( 4) 3 3 3

x x x x x x x x x

+ − − + + −   − = − = −  

2 2 2

3 1 4

4 0 3 1 3 4

5 3 5 2 2 2 8 7 10 0

x x

x x x

x x x x x x x

− = =  

=    < − ≠ < ≠ ⇔ ⇔ ⇔      =      − + = + − − + =     V y ph ng trình có 2 nghi m phân bi t x=4, x=5. ậ ươ ệ ệ BÀI TOÁN 2: S D NG PH NG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ Đ A V CÙNG C S Ử Ụ ƯƠ Ư Ề Ơ Ố I. Ph ng pháp: ươ Đ chuy n n s kh i s mũ lu th a ng i ta có th logarit theo cùng 1 c s c 2 v c a ể ểẩ ố ỏ ố ỹ ừ ườ ể ơ ốả ếủ ph ng trình, ta có các d ng: ươ ạ D ng 1: ạ Ph ng trình: ươ

( )

( )

0 1, 0

log

f x

a

a b a b f x b

< ≠ >  = ⇔  = 

1

D ng 2: ạ Ph ng trình : ươ

( ) ( ) ( ) ( ) log log ( ) ( ).log f x g x f x f x a a a a b a b f x g x b = ⇔ = ⇔ =

ho c ặ

( ) ( ) log log ( ).log ( ). f x g x b b b a b f x a g x = ⇔ = II. VD minh ho : ạ VD1: Gi i ph ng trình: ả ươ

2

2 2 3 2

x x − =

Gi i: L y logarit c ả ấ ơ s 2 hai v ph ng trình ta đ c: ố ế ươ ượ

2 2 2 2 2 2 2 2 3 log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0 2

x x x x x x − = ⇔ − = − ⇔ − + − =

Ta có

,

2 2 1 1 log 3 log 3 0 ∆ = − + = > suy ra ph ng trình có nghi m ươ ệ

x = 1 2 ± log 3. VD2: Gi i ph ng trình: ả ươ

1 5 .8 500.

x x x −

= Gi i: Vi t l i ph ng trình d i d ng: ả ế ạ ươ ướ ạ 1 1 3 3 3 2 3 8 5 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1

x x x x x x x x − − − − = ⇔ = ⇔ =

L y logarit c s 2 v , ta đ c: ấ ơ ố ế ượ

( ) ( )

3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 log 5 .2 0 log 5 log 2 0 3 .log 5 log 2 0

x x x x x x x x x

− − − −     − = ⇔ + = ⇔ − + =        

( ) 2

2

3 1 3 log 5 0 1 log 5

x x x x

=     ⇔ − + = ⇔    = −   

V y ph ng trình có 2 nghi m phân bi t: ậ ươ ệ ệ

2

1 3; x log 5 x = = −

Chú ý: Đ i v i 1 ph ng trình c n thi t rút g n tr c khi logarit hoá. ố ớ ươ ầ ế ọ ướ BÀI TOÁN 3: S D NG PH NG PHÁP Đ T N PH - D NG 1 Ử Ụ ƯƠ Ặ Ẩ Ụ Ạ I. Ph ng pháp: ươ Ph ng pháp dùng n ph d ng 1 là vi c s d ng 1 n ph đ chuy n ph ng trình ban đ u ươ ẩ ụạ ệ ửụ ẩ ụể ể ươ ầ thành 1 ph ng trình v i 1 n ph . ươ ớ ẩ ụ Ta l u ý các phép đ t n ph th ng g p sau: ư ặẩ ụ ườ ặ D ng 1: ạ Ph ng trình ươ

( 1) 1 1 0 k . 0 x x k k a a α α α α − − + + =

Khi đó đ t ặ x t a = đi u ki n t>0, ta đ c: ề ệ ượ

1 1 1 00 k k k k t t t α α α α − − + + =

M r ng: N u đ t ởộ ế ặ

( ), f x t a = đi u ki n h p t>0. Khi đó: ề ệ ẹ

2 ( ) 2 3 ( ) 3 ( ) , ,....., f x f x kf x k a t a t a t = = =

Và

( ) 1 f x a t

− =

D ng 2: ạ Ph ng trình ươ 1 2 3 0 x x a α a α α + + = v i a.b=1 ớ

Khi đó đ t ặ , x t a = đi u ki n t<0 suy ra ề ệ 1 x b t = ta đ c: ượ

2 2 1 3 1 3 2 0 0 t t t t α α α α α α + + = ⇔ + + =

M r ng: V i …