Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải

https://toanmath.com/

NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số ( ) f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số

( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu ( ) ( ) ' F x f x = với mọi x K ∈ .

Định lí:

1) Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

( ) ( ) G x F x C = + cũng là một nguyên hàm của ( ) f x trên K .

2) Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì mọi nguyên hàm của ( ) f x trên

K đều có dạng ( ) F x C + , với C là một hằng số.

Do đó ( ) , F x C C + ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của ( ) f x trên K . Ký hiệu

( ) ( ) x f x d F x C = + ∫ .

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1: ( ) ( ) ( ) x f x d f x ′ = ∫ và ( ) ( ) ' x f x d f x C = + ∫

Tính chất 2: ( ) ( ) x x kf x d k f x d = ∫ ∫ với k là hằng số khác 0 .

Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f x g x d f x d g x d ± = ±     ∫ ∫ ∫

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ( ) f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp

( ) ( ) u u x =

x d x C = + ∫ u d u C = + ∫

( ) 1 1 x 1 1 x d x C α α α α

+ = + ≠− + ∫ ( ) 1 1 u 1 1 u d u C α α α α

+ = + ≠− + ∫

1 x ln d x C x = + ∫ 1 u ln d u C u = + ∫

x x x e d e C = + ∫ u u u e d e C = + ∫

( ) x 0, 1 ln

x x a a d C a a a = + > ≠ ∫ ( ) u 0, 1 ln

u u a a d C a a a = + > ≠ ∫

https://toanmath.com/

sin dx cos x x C = − + ∫ sin du cosu u C = − + ∫

cos xdx sin x C = + ∫ cosudu sinu C = + ∫

2 1 x tan cos d x C x = + ∫ 2 1 u tan cos d u C u = + ∫

2 1 x cot sin d x C x = − + ∫ 2 1 u cot sin d u C u = − + ∫

B - BÀI TẬP

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ;a b đều có đạo hàm trên [ ] ;a b .

(2): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ;a b đều có nguyên hàm trên [ ] ;a b .

(3): Mọi hàm số đạo hàm trên [ ] ;a b đều có nguyên hàm trên [ ] ;a b .

(4): Mọi hàm số liên tục trên [ ] ;a b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ ] ;a b .

A. 2 . B. 3. C. 1. D. 4 . Câu 2. Cho hai hàm số ( ) f x , ( ) g x liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. ( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x g x x f x x g x x + = +     ∫ ∫ ∫ .

B. ( ) ( ) ( ) ( ) . d d . d f x g x x f x x g x x =     ∫ ∫ ∫ .

C. ( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x g x x f x x g x x − = −     ∫ ∫ ∫ .

D. ( ) ( ) d d kf x x k f x x = ∫ ∫ ( ) 0; k k ≠ ∈.

Câu 3. Cho ( ) f x , ( ) g x là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh

đề nào sai? A. ( ) ( ) ( ) ( ) d d . d f x g x x f x x g x x = ∫ ∫ ∫ . B. ( ) ( ) 2 d 2 d f x x f x x = ∫ ∫ .

C. ( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x g x x f x x g x x + = +     ∫ ∫ ∫ . D.

( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x g x x f x x g x x − = −     ∫ ∫ ∫ .

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. ( ) ( ) d d kf x x k f x x = ∫ ∫ với k ∈.

B. ( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x g x x f x x g x x + = +     ∫ ∫ ∫ với ( ) f x ; ( ) g x liên tục trên .

C. 1 1 d 1 x x x α α α

+ = + ∫ với 1 α ≠−.

D. ( ) ( ) ( ) d f x x f x ′ = ∫ .

Câu 5. Cho hai hàm số ( ) f x , ( ) g x là hàm số liên tục, có ( ) F x , ( ) G x lần lượt là nguyên hàm

của ( ) f x , ( ) g x . Xét các mệnh đề sau:

( ) I . ( ) ( ) F x G x + là một nguyên hàm của ( ) ( ) f x g x + .

( ) II . ( ) .k F x là một nguyên hàm của ( ) .k f x với k ∈.

( ) III . ( ) ( ) . F x G x là một nguyên hàm của ( ) ( ) . f x g x .

Các mệnh đề đúng là