Đề thi HSG huyện Toán 9 năm 2018 - 2019 phòng GDĐT Tam Dương - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018-2019

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi này gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức: P = x x x x x x − + + + + − + 4 5 2 2 2 2 1 .

Tìm x để P có giá trị bằng 2.

Câu 2. (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực thỏa mãn: 1 1 1 2 a b c + + = và

a + b + c = abc thì: 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = .

Câu 3. (2,0 điểm) Tính tổng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ....... 1 1 2 2 3 2018 2019 S = + + + + + + + + +

Câu 4. (2,0 điểm) Giải phương trình:

2 12 1 36 x x x + + + = Câu 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 2 2 3 2 3 2 n n n n + + − + − 10  Câu 6. (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên:

2 2017 2018 2019 0 x xy x y + − − − =

Câu 7. (1,0 điểm) Cho m, n là các số tự nhiên và p là số nguyên tố thoả mãn:

1 − m p = p n m + . Chứng minh rằng khi đó n + 2 là một số chính phương.

Câu 8. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 1 1 b a c = + . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: 2 2 a b c b P a b c b + + = + − −

Câu 9. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Goïi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh rằng: ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME song song với BN. c) Từ C kẻ CH vuông góc với BN tại H. Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng. Câu 10. (2,0 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?

==== HẾT ==== Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ tên thí sinh.........................................................SBD:.......................Phòng thi................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9

Năm học: 2018 – 2019

Môn Toán Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa. -Các câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó.

Câu Nội dung Điểm

1

Biểu thức có nghĩa khi x 4 ;0 ≠ ≥ x

P =

x x x x x x − + + + + − + 4 5 2 2 2 2 1 =

( )( )

1 2 2 5 2 2 2 2

x x x x x x x

+ + + − − + + −

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

1 2 2 2 2 5

2 2 2 2 2 2

x x x x x

x x x x x x

+ + − + = + − + − + − + −

( )( )

3 2 2 4 2 5

2 2

x x x x x

x x

+ + + − − − = + −

( )( )

3 6

2 2

x x

x x

− = + −

( ) ( )( )

3 2

2 2

x x

x x

− = + −

3 2 x x = +

Do đó: P= 2 ⇔ 3 2 3 2 4 4 16 2 x x x x x x = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = + (t/m)

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

1

2

Từ 1 1 1 2 a b c + + = ⇒

2 1 1 1 4 a b c   + + =    

⇒ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab bc ca   + + + + + =    

⇒ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c a b c abc + +   + + + =    

(*)

mà a + b + c = abc

⇒ 1 a b c abc + + =

Nên từ (*)⇒ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c + + + =

⇒ 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + =

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

3

Với ∀ n ∈ N* ta có:

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1

n n n n

n n n n

+ + + + + + = + +

0,25

0,25