Đáp án đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Khối 9 - Năm học 2008-2009 - Phòng giáo dục và đào tạo Thanh Chương

A

m+1

m-3

B

m+1

O

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2008-2009

MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút)

Câu Ý Nội dung Điểm Ghi chú

1 a

A

A =

0.5

0.5

b

B =    2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009

2005.2007.2010.2011

  

. Đặt x = 2008, khi đó

B =         

2 2 x x 6 x 2x 3 x 1

x 3 x 1 x 2 x 3

    

    =

          

x 2 x 3 x 3 x 1 x 1

x 3 x 1 x 2 x 3

    

    = x + 1 = 2009

0.25

0.25

0.5

2.0

2 a

y = (m – 3)x + (m + 1) Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có: y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m

Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)

0.25

0.25

b

Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3

S ABO =

Nếu m> 3 m2 +2m +1 = 2m -6 m2 = -7 ( loại) Nếu m < 3 m2 +2m +1 = 6 – 2m m2 + 4m – 5 =0 (m – 1)(m + +5) = 0 m = 1; m = -5

0.5

0.5

1.5

3 a

Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:

a2 + b2 +c2 + d2 +2 a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2

ac + bd (1) Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m Nếu ac + bd 0 (1) ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 +2acbd a2d2 + b2c2 – 2abcd 0 (ad – bc)2 0 ( luôn đúng)

Dấu “=” xẩy ra ad = bc

Áp dụng: xét vế trái VT =

Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra

0.5

0.5

0.25

0.25

1.5

2 2 3 2 2. ( 6) ( 3 2 2) 3 2 2. 6 (3 2 2)        

2 (3 2 2)(3 2 2) 9 (2 2) 1     

0 0 0 ( 1) (1 3 ) 0, m x x y m       

0 0

0 0 0

1 0 1

1 3 0 4

x x

x y y

             

0 3 m   

 1 1 1 1 2 3 m m m

   

2 ( 1) 2 3 m m    

     

2 2 2 2 ( )( ) a b c d   

 2 2 2 2 ( )( ) a b c d   

        

 a c b d 

2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 (3 ) 1 ( 1 3 ) (2 1) x x x x          16 9 5 VT VT     

 1 3 5 1 6 2 2 1 3 x x x x x        

DeThi.edu.vn

H

N

C D

A B

M

b.

Điều kiện: x 0

Q =

Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy ra (TM điều kiện)

0.75

0.25

1.0

4

Hình vẽ chính xác Gọi H là giao của AM và CN Xét và CNB là hai tam giác vuông có: AB = CB (Cạnh hình vuông)

BM = BN (gt)

= CNB (c-g-c)

Xét trong và CMH có: (đối đỉnh), kết hợp với (1)

hay H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD) Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy tại H

0.2

0.5

0.5

0.3

1.5

5

Hình vẽ Đặt .

Ta có:

.

Suy ra diện tích của MNPQ là:

+ Ta có bất đẳng thức:

Áp dụng, ta có: .

Dấu đẳng thức xảy ra khi: .

Suy ra: . Vậy: khi hay M là trung

điểm của cạnh AB

0.2

0.2

0.3

0.3

0.25

0.5

0.25

0.5

2.5

 ( 9) 25 25 3 6 3 3 x x x x       

25 2 ( 3). 6 10 6 4 3 x Q x        

 25 3 4 3 x x x     

AMB  

 AMB   · · (1) BAM BCN 

AMB   · · AMB CMH 

· · 0 90 CHM ABM   · 0 90 ACH  

AM = x (0 < x < c)

MN AM ax = MN = BC AB c 

  0 c- x 3 MQ = BM.sin60 = 2

    ax c- x 3 a 3 S = = x c- x 2c 2c

2 a + b a + b ab ab (a > 0,b > 0) 2 2        

2 2 x + c- x c x(c- x) = 2 4      

c x = c- x x = 2 

.

2 a 3 c ac 3 S = 2c 4 8  max

ac 3 S = 8

c x = 2

A

B C

M N

P Q

0 60

x

DeThi.edu.vn